$p\geq1$ ve $n$ pozitif bir tam sayı ise $1+2^p+3^p+4^p+\cdots+n^p \geq n (\frac{n+1}{2})^p$ olduğunu gösterin

Question

http://www.matkafasi.com/13712/lim-_-rightarrow-infty-dfrac-s_-left-right-ns_-n-left-a-right-%24 sorusuna ek olsun

Comments

 Tümevarım yöntemi ile:

1)  $n=1$ için eşitsizlik doğrudur.

2)  $n=k$ için doğru olsun.

3)  $n=k+1$ için $1^p+2^p+3^p+...+n^p+(n+1)^p\geq (n+1)\left[\frac{n+2}{2}\right]^p$,

İkinci adımda doğru kabul ettiğimiz eşitsizliğin her tarafına $(n+1)^p$ ekleyelim.

$1^p+2^p+3^p+...+n^p+(n+1)^p\geq n\left (\frac{n+1}{2}\right)^p+2^p\left(\frac{n+1}{2}\right)^p$

  $\geq n\left (\frac{n+1}{2}\right)^p+2^p\left(\frac{n+1}{2}\right)^p$

  $\geq \left (\frac{n+1}{2}\right)^p(n+2^p)\geq(n+1) \left (\frac{n+1}{2}\right)^p$ devamını gertiremedim

Answer 1

$p \geq1$ icin $f(x)=x^p$ olsun. $a \geq 1$ ile $n-a+1\geq a$ arasinda grafik surekli ve konveks oldugundan $\frac{(n-a+1)^p+a^p}{2} \geq \big(\frac{n+1}{2}\big)^p$. Bu da istenen cevabi veriyor.