Question

$712!+1$ sayısının asal olup olmadığını belirleyiniz.

Baltık ülkelerinde 2014 yılında (sanırım ortaklaşa yaptığı) bir sınavda sorulmuş.

(Önceki sorumu, bundan esinlererek oluşturdum, bu soru biraz daha zorca)

Comments

Bu kadar büyük bir sayının asal olduğunu (bilgisayar kullansak bile) göstermek pek olası olmadığına göre, asal olmadığını tahmin etmek güç olmamalı. Youtube da bir kanalda çözümü de var.

---

Benim bilgisayar asal olmadigini milisaniye icinde soyledi. Dediginiz gibi asal olmadigini soylemek bi nebze daha kolay.

Sayinin iki boleni 719, 11867.

---

Wilson' un Teoremini kullanarak, $719$ a bölündüğü (ilgili sorudaki gibi) gösterilebiliyor.

(Bedava) Wolfram Alpha asal çarpanını bulamadı, ama asal olmadığını belirtti. Siz bu asal çarpanları bulmak için hangi programı kullandınız?

---

Ben Mathematica ile $712!+1$ sayisini $100,000$ den kucuk asallara boldum ve sonucun tamsayi olup olmadigina baktim. Sayinin iki bolene bolumundenki bolum de asal degil. Diger carpan veya carpanlar $8,736,028,057$ den buyuk olmali cunku 400 milyonuncu asal sayilara kadar baktim..

---

Matematikde yaygın bir sorun burada da varmış (Wikipedia  ya göre)

Bu önermeyi ilk Ḥasan Ibn al-Haytham (al Hazen) 1000 civarında ortaya atmış, 18. yy da Wilson ve Waring (1770) iddia etmiş ama ispatlayamamışlar. Lagrange, 1771 de ispatlamış. Nedense Wilson Teoremi diye adlandırılıyor.

Answer 1

$712!+1$ sayısı çarpanlarından biri $719$ olan bir bileşik sayıdır. Gösterelim:

Wilson teoreminden $p$ asal olmak üzere  $(p-1)!\equiv -1\mod p$ olduğundan $$718!\equiv-1\mod 719$$ yazabiliriz.

$718!\equiv718\cdot717\cdot716\cdot715\cdot714\cdot713\cdot712! \equiv (-1)(-2)(-3)(-4)(-5)(-6)712!\mod719$

$718!\equiv 720\cdot712!\equiv 712!\equiv -1 \mod719$

$712!+1\equiv0  \mod719$ olacağından $719$ sayısı $712!+1$ sayısının bir çarpanıdır.

Comments

Bu soruda, Wilson un Teoremini kullanabilmek için, ilk akla gelen  sayı olan $713$, maalesef asal değil ($713=23\times 31$). Eğer $713$ asal olsaydı, problem çok çok kolay olurdu.

---

Evet hocam öyle. İlk olarak teoremi $713$ için düşünmüştüm.  Üzerinde yeterince düşünmedim ama acaba daha ilkel bir çözüm, yani Wilson teoremini bilmiyorsak, nasıl olur?

---

Ya 719 da (oldu ama) olmasaydı?

---

Burada, $712=718-6$ ve $719=6!-1$ oluşu kritik.

---

$n!-(-1)^n$ asallığı ile geneleştirilebiliriz o zaman.
Soru yazmak için iyi bir bilgi. Soranın da makul sorması ile bakılabilinecek bir araç gibi duruyor.