$f(x)+f'(x)\leq1$ ve $f(0)=0$ ise $f(1)$ in maksimum değeri kaç olur?

Question

$f:[0,1]\to\mathbb{R}$ sürekli türevlenebilen bir fonksiyon, $\forall x\in[0,1]$ için $f(x)+f'(x)\leq1$ ve $f(0)=0$ ise $f(1)$ in maksimum değeri kaç olur?

Comments

$f(x+h) \simeq f(x) +h f'(x)$   [Taylor acilimi]'

$x$ yerine $0$, $h$ yerine $1$ yerlestirince

$f(0+1) \simeq f(0) +f'(0)  $ olur

bir yandan da $f(x) +f'(x) \leq 1$ olusunu kullanarak

$f(1) \simeq f(0) +f'(0) \leq 1  $ olur

 

acaba $f(1)$ maksimum $1$ mi olur

Answer 1

(0) $g=f-1$ olarak tanımlarsak $g+g^\prime\le 0$ olur.
(1) Eşitsizliği $e^x$ ile çarparsak $(e^x \cdot g(x))^\prime\le 0$ olur.
(2) $e^0g(0)\ge e^1g(1)$ sağlanır.
(3) $f(1)\le1-e^{-1}$ sağlanır.

Buradaki maksimum değeri veren fonksiyon: $1-e^{-x}$.

Comments

ya ben $2$ ye nasil geldigimizi goremiyorum

---

Türevi küçük eşit sıfırsa fonksiyon artamaz.

---

Ben şöyle çözdüm:

$e^x(f(x)+f'(x))\leq e^x$ den. 

(Bu adım için türevi sürekli koşulunu ekledim)

$\int_0^1e^x(f(x)+f'(x))\,dx\leq\int_0^1e^x\,dx$

den, $ef(1)\leq e-1$ yani $f(1)\leq\frac{e-1}e$ olur ve eşitlik sadece $f(x)+f'(x)=1$ iken doğru olur. Bunu (ve $f(0)=0$ ı) sağlayan tek fonksiyon, Sercan ın da belirttiği gibi, $f(x)=1-e^{-x}$ dir.