Bir toplamın hesaplanması

Question

$\sum_{k=1}^{n}k.2^k=?$

Answer 1

$$y=\sum_{k=1}^n x^{k+1}=\frac{x^2(1-x^n)}{1-x}$$ olduğunu hesaplamak kolay. Taraf tarafa türev alırsak
$$y'=\sum_{k=1}^n (k+1)\cdot x^k=\left(\frac{x^2(1-x^n)}{1-x}\right)'$$ ve
$$y'=\sum_{k=1}^n (k\cdot x^k+x^k)=\sum_{k=1}^n k\cdot x^k+\sum_{k=1}^n x^k=\left(\frac{x^2(1-x^n)}{1-x}\right)'$$ olur. Buradan da
$$\sum_{k=1}^n k\cdot x^k=\left(\frac{x^2(1-x^n)}{1-x}\right)'-\sum_{k=1}^n x^k=\left(\frac{x^2(1-x^n)}{1-x}\right)'-\frac{x(1-x^n)}{1-x}$$ elde edilir. Türev hesaplanıp $x=2$ yazılırsa toplam

$$\sum_{k=1}^n k\cdot x^k=n\cdot 2^{n+1}+\frac{2\cdot (1-2^n)}{1-2}=(n-1)\cdot 2^{n+1}+2$$ bulunur.

Answer 2

$A=\sum_{k=1}^nk\cdot 2^k$ olsun. $2A=\sum_{k=1}^nk\cdot2^{k+1}$ olur.

$A=2A-A\\=\sum_{k=1}^nk\cdot2^{k+1}-\sum_{k=1}^nk\cdot2^k\\=(1\cdot2^2+2\cdot2^3+3\cdot2^4+\cdots+n\cdot2^{n+1})-(1\cdot2^1+2\cdot2^2+\cdots+n\cdot2^n)\\=n\cdot2^{n+1}-(2^1+2^2+2^3+\cdots+2^{n})\\=n\cdot2^{n+1}-2(1+2+\cdots+2^{n-1})\\=n\cdot2^{n+1}-2(2^n-1)=(n-1)\cdot2^{n+1}+2$

Comments

Yıllar önce eski bir öğrencimiz bana bu soruyu sormuştu, ben uzun bir çözüm yazmıştım, ama kendisi bana bu kısa çözümü göndermişti.

Benim uzun çözümüm şöyle idi ($a_k=k\cdot 2^k$):

$\begin{aligned}
     a_1+a_2+\cdots+a_{n}&=1\cdot2+2\cdot2^2+\cdots+n\cdot2^{n}\\& =2(1+2+\cdots+2^{n-1})\\
     &\phantom\qquad +2^2(1+2^1+\cdots+2^{n-2}) \\&\phantom\qquad \ +2^3(1+2^1+\cdots+2^{n-3})\\
     &\phantom\qquad\ \ .\\ &\phantom\qquad\ \ \  .\\&\phantom\qquad\ \ \ \ .\\
     &\phantom\qquad\quad+2^{n}\cdot1\\&=2(2^{n}-1)+2^2(2^{n-1}-1)+\cdots+2^{n}(2^1-1)\\
     &=n\cdot2^{n+1}-(2+4+\cdots+2^{n})\\&=n\cdot2^{n+1}-2(2^n-1)=(n-1)2^{n+1}+2\end{aligned}$

(Aklıma, von Neuman a sorulan, arı (veya kuş)-tren sorusu geldi nedense!)

---

Murad hocama ve Doğan hocama emekleri için çok çok teşekkür ederim.

Answer 3

Murad hocanin cozumune benzer bir cozum.

 

$1-x^n=(1-x)(1+x+x^2+\cdots+x^{n-1})$ oldugunu biliyoruz.

 

$\dfrac{1-x^n}{1-x}=1+x+x^2+\cdots+x^{n-1}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}x^k$.

 

Indeksi 1 den baslatirsak

 

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x^{k-1}=\dfrac{1-x^n}{1-x}$ olur. Iki tarafi $x$ ile carpalim..

 

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x^k=x\dfrac{1-x^n}{1-x}$ olur. Iki tarafin turevini alalim..

 

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}kx^{k-1}=\left[x\dfrac{1-x^n}{1-x}\right]'$ olur. Iki tarafi $x$ ile carpalim..

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}kx^k=x\left[x\dfrac{1-x^n}{1-x}\right]'=x\left[-\frac{n x^n}{1-x}+\frac{1-x^n}{1-x}+\frac{x \left(1-x^n\right)}{(1-x)^2}\right]$ olur. $x=2$ alirsak.

 

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k2^k=2\left[n2^n+2^n-1+2(1-2^n)\right]=(n-1)2^{n+1}+2$        istenen cevap.

Comments

Şöyle de yapılabilir:

$x\sum_{k=1}^nkx^k-\sum_{k=1}^nkx^k=nx^{n+1}-\sum_{k=1}^nx^{k}$ olur.

$(x-1)\sum_{k=1}^nkx^k=nx^{n+1}-\dfrac{x(x^n-1)}{x-1}$ den

$\sum_{k=1}^nkx^k=n\dfrac{x^{n+1}}{x-1}-\dfrac{x^{n+1}-x}{(x-1)^2}$