α:I→R3 ve β:I→R3, v∈R olmak üzere bir M regle yüzeyin parametrik denklemi F(u,v)=α(u)+vβ(u)
şeklinde verilir. Burada
α taban eğrisi(dayanak eğrisi) ve
β eğrisi (veya vektör alanı) doğrultman olarak adlandırılır. Herhangi bir
M yüzeyi Monge formu olarak
ϕ(u,v)=(u,v,F(u,v))
şeklinde verilir. Burada
F(u,v) iki değişkenli fonksiyonu,
M yüzeyinin kapalı denklemine karşılık gelir. Regle yüzeyi Monge formunda yazmak istiyorum. Bunun için
α ve
β eğrilerinin de kapalı denklemleri ile ifade edilmesi gerekir. Ancak bu eğriler düzlemsel değilse, başka bir ifadeyle uzay eğrileri ise (torsiyon
τ≠0) kapalı denklemleri mevcut değildir (en azından öyle biliyorum; belki göstermek lazım).
Buna göre tabanı ve doğrultmanı düzlemsel eğriler olmayan Regle yüzeyler için Monge formu mevcut değildir mi diyeceğiz? Ama aynı zamanda her regüler yüzey için bir Monge yaması vardır diye biliyorum. Şimdi farzedelim ki taban ve doğrultman düzlemsel eğriler olsun ve karşılık gelen kapalı denklemler
α ve
β ile gösterilsin. O zaman
ϕ(u,v)=(u,v,F(u,v))=(u,v,α(u)+vβ(u))
=(u,0,α(u))+v(0,1,β(u))
şeklinde taban eğrisi
xz ve doğrulmanı
yz düzleminde olacak şekilde (
α ve
β eğrileri farklı ortogonal düzlemlerde) yazılabiliyor. Örneğin helikoit yüzeyi
ϕ(u,v)=(vcosu,vsinu,u))=(0,0,u)+v(cosu,sinu,0) olarak yazılıyor ve yüzeyin kapalı denklemi
F(x,y)=arctanyz olur. Ama o zaman da
ϕ(x,y)=(x,y,F(x,y))=(x,y,arctanyx)=(x,y,α(x)+yβ(x))
olacak biçimdeki
α ve
β kapalı fonksiyonları ne olur?