Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
528 kez görüntülendi
Ben bu soruda S ifadesinin karesini almayı denedim, ancak bir şey elde edemedim sanırım. Bu tür sorular için bir çözüm yolu önerebilir misiniz?
Lisans Matematik kategorisinde (12 puan) tarafından 
tarafından yeniden kategorilendirildi | 528 kez görüntülendi
Cauchy-schwarz gibi eşitsizlikleri ya da Lagrange çarpanlama yöntemini denediniz mi?

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
Eşitsizlik konusu üzerine ciddi çalışmalar mevcut olmakla birlikte herhangi bir sorusu için doğrudan şu yaklaşım en uygun yöntemdir demek çok kolay değildir. Dolayısıyla her analiz kendine özgü bir başlangıcı ve ilerleme stratejisini gerektirir. Bu soruda S'nin karesini almak doğrudan bizi çözüme ulaştırmaz lakin kare işleminden sonra elde edilen terimler doğru alt gruplara ayrılıp analiz edilirse çözüme ulaştırır. Öncelikle S=abc+acb+bca ifadesinin karesini alalım.
S2=(abc+acb+bca)2=a2b2c2+a2c2b2+b2c2a2G1+2(a2+b2+c2)G2
S2 ifadesini G1 ve G2 alt toplamları altında inceleyelim. G1 ifadesi üç terimden oluşmaktadır. Bu üç terimi sıradan bağımsız olarak ikişerli analiz edeceğim. O halde, (32)=3 farklı çift için aritmetik ve geometrik ortalama eşitsizliklerini yazalım.
a2b2c2+a2c2b22a2b2c2×a2c2b2=2a2(1)
a2b2c2+b2c2a22a2b2c2×b2c2a2=2b2(2)
a2c2b2+b2c2a22a2c2b2×b2c2a2=2c2(3)
Bu üç eşitsizliği taraf tarafa toplarsak,
2(a2b2c2+a2c2b2+b2c2a2)2(a2+b2+c2)
(a2b2c2+a2c2b2+b2c2a2)(a2+b2+c2)(4)
eşitsizliğini elde ederiz. Buradan hareketle dördüncü eşitsizliğin sol tarafında S2 ifadesini oluşturmak için eşitsizliğin her tarafına G2 alt toplamını ekleyelim.
a2b2c2+a2c2b2+b2c2a2+2(a2+b2+c2)G2(a2+b2+c2)+2(a2+b2+c2)G2
Eşitsizliği yeniden düzenlersek,
S23(a2+b2+c2)
elde ederiz. Sorunun en başında bize verilmiş olan a2+b2+c2=1 denkliğini de kullanarak,
S23
olduğuna ulaşırız. a,b,c>0 olduğu için S'de pozitif bir reel sayıdır. Sonuç olarak,
S3
olur. S'nin en küçük değeri 31.73 olarak bulunur.
(59 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,297 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,726,998 kullanıcı