Birim aralik ve birim kare

Question

Birim aralik ile birim kare arasinda;

1. Birebir ve orten bir fonksiyon bulabilir miyiz?
2. Surekli ve örten bir fonksiyon bulabilir miyiz?
3. Birebir orten ve surekli bir fonksiyon bulabilir miyiz?
4. Surekli örten ve turevlenebilir bir fonksiyon bulabilir miyiz?

Duzenleme : 2. 4. sorularda örten kosulunu unutmustum

Comments

2. ve 4 . sorularda başka koşul yok mu?

---

Orten kosulunu unutmusum

---

1. Evet (G. Cantor bunu yapmış ve sonra "Görüyorum ama inanmıyorum" diye yazmış)

2. Evet.İlk olarak peano bulmuş. "Peano eğrisi" adı altında aranırsa bulunabilir.

3. Hayır

4. Hayır.
-------------------
3. Bunun daha genel bir şekline "Hayır" cevabı, Cebirsel Topolojide, "Invariance of Domain" diye bilinen teoremidir.

4. Hayır. Bununla ilgili bir soru sanırım sitede var.(EK: Galiba YOK)

Morse-Sard Teoremi (veya Sard Teoremi/Lemması)

Şurada ifadesi var. (görüntünün ölçümü 0 olur.)

---

1. soru ve cevabı

Şurada var.

EK: Şurada daha detaylı (İngilizce) var.

---

Tesekkur ederim, butun sonuclari burada toplayayim istemistim.

---

4. soru ve (böyle sürekli türevlenebilen bir fonksiyonun var olamayacağının)  güzel bir cevabı

şurada var

Answer 1

3. Sorunun kolay cevabı:

Birim aralık kompakt olduğu için, bu fonksiyon bir homeomorfizma olur.

Birim aralıktan bir iç nokta, birim kareden karşı gelen noktayı çıkarılırsa, bu iki yeni uzay arasında bir homeomorfizma olur.

Ama, ilk uzay bağlantısız, ikincisi ise (karşı gelen nokta içte veya kenarda farketmez) bağlantılıdır, onlar homeomorfik olamaz.

("Invariance of Domain" teoremi, bundan çok daha genel olarak, farklı boyutlu Öklid uzaylarının homeomorfik olamayacağını söyler)