$x\in cl_Y(A)$ olsun.
Amacımız $$x\in cl_X(A)\cap Y$$ olduğunu göstermek. $$x\in cl_Y(A)$$ ve $$cl_Y(A)\subseteq Y$$ olduğundan $$x\in Y\ldots (1)$$ olduğu açık. Dolayısıyla $x\in cl_X(A)$ olduğunu göstermek yeterli olacaktır. Bunun için de keyfi bir $U\in O(X,x)$ için $U\cap A\neq\emptyset$ olduğunu göstermeliyiz.
$\left.\begin{array}{r} x\in Y\subseteq X \\ \\ U\in O(X,x) \end{array}\right\}\Rightarrow \begin{array}{c}\mbox{} \\ \mbox{} \\ \left.\begin{array}{r} U\cap Y\in O(Y,x) \\ \mbox{} \\ x\in cl_Y(A)\end{array}\right\}\Rightarrow (U\cap Y)\cap A\neq\emptyset \!\!\!\!\!\end{array} $
$\left.\begin{array}{rr}\Rightarrow U\cap (Y\cap A)\neq\emptyset \\ \\ A\subseteq Y\Rightarrow Y\cap A=A\end{array}\right\}\Rightarrow U\cap A\neq\emptyset$
O halde $$x\in cl_X(A)\ldots (2)$$
olur. $(1)$ ve $(2)$ nolu bilgilerden de $$x\in cl_X(A)\cap Y$$ elde edilir. Dolayısıyla $$cl_Y(A)\subseteq cl_X(A)\cap Y\ldots (*)$$ olur.
Şimdi de diğer yönünü gösterelim.
$x\in cl_X(A)\cap Y$ olsun. Amacımız $x\in cl_Y(A)$ olduğunu göstermek. Bunun için de keyfi bir $V\in O(Y,x)$ için $V\cap A\neq \emptyset$ olduğunu göstermek.
$x\in cl_X(A)\cap Y\Rightarrow (x\in cl_X(A))(x\in Y)$
$\left.\begin{array}{rr}\Rightarrow (\forall U\in O(X,x))(U\cap A\neq\emptyset)(x\in Y) \\ \\ V\in O(Y,x)\Rightarrow (\exists W\in O(X,x))(V=W\cap Y)\end{array}\right\}\Rightarrow$
$\Rightarrow \emptyset\neq W\cap A=W\cap (A\cap Y)=(W\cap Y)\cap A=V\cap A.$
O halde $$x\in cl_Y(A)$$ elde edilir. Dolayısıyla $$cl_X(A)\cap Y\subseteq cl_Y(A)\ldots (**)$$ olur.
$$(*),(**)\Rightarrow cl_Y(A)=cl_X(A)\cap Y.$$
Not: $O(X,x):=\{U|x\in U\in\tau\}$