Ortalamaların Tanımı

Question

Merhabalar güzel günler. Ortalamalar için matematiksel bir tanım verebilir misiniz? Örneğin Aritmetik Ortalama için güvenilir bir matematiksel tanımı kaynak göstererek paylaşabilirseniz sevinirim.

Answer 1

Genel halde ortalamaların tanımı burada vardır. 

$p\neq 0$ bir gerçel sayı ve $x_1, x_2, \cdots x_n$ pozitif gerçel sayılar olmak üzere bu sayıların $p$-inci kuvvet ortalaması $$  M_p = \left( \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n x_k^p  \right)^\frac{1}{p}$$

olarak tanımlanır. $p=0$ için $$M_0 = \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n x_k}$$

geometrik ortalama olarak tanımlanır. Özel olarak

$p=1$ iken aritmetik ortalama

$p=-1$ iken harmonik ortalama

$p=2$ iken karesel ortalama

isimleri verilir.

Comments

Teşekkür ederim Lokman hocam.  Wikipedia üzerindeki bilgilere güvenmemeyi öğreneli yaklaşık 6 ay oldu. Bu sebeple güvenilir bir kaynak kitaptan tanım gösterebilirseniz çok sevinirim.

 

Aslında sormak istediğim şu: Örneğin aritmetik ortalama a ve b olan iki pozitif reel sayısı için $\frac{a+b}{2}$ şeklinde bulunur. Peki tek bir a pozitif reel sayısının aritmetik ortalaması nedir? Cevap sayının ta kendisi midir? Bu soru anlamsız mıdır?  Bu geometrik ortalama ve diğer ortalamalar için de mi anlamsızdır? Ortada bir "ortalama" kavramının olması için en az iki pozitif gerçel sayı mı gereklidir?

---

wikipedia bilgileri de sorgulanabilir elbette, sorgulanmalı da. Sayfanın sonunda referans kitaplar verildiği için bilgiler güvenli diyebilirim. Ayrıca ''algebraic inequalities, power means'' gibi bir anahtar kelimeyle arama yapılırsa bu tanımın doğru olduğunu veren kitap pdf-lerine ulaşılacaktır. P.P. Korowkin'in Inequalities kitabı TMD tarafından Türkçe'ye tercüme edilmiştir. Burada da ortalamalar konusu vardır.

 

$n=1$ tane sayı almakta sıkıntı yoktur. Tanım uygulanırsa, açık olarak $a$ sayısının ortalaması $a$ olur. En az iki sayı olmak zorunda değildir. Bir tek sayı için ortalama hesaplamak da bizi bir yere ulaştırmıyor, faydası da yok zararı da. (Fakat $n=0$ için ortalama tanımsızdır. Hiç sayı almamak olmaz.)

---

Anladım hocam çok teşekkür ederim.

 

0 için tanımsız ise 1 için neden tanımsız değildir? Sıfır sayının ortalamasının hesaplanması durumu ile tek bir sayının ortalamasının hesaplanması durumu bana eşdeğer geliyor. Ortalama, İki veya ikiden fazla sayının toplamının toplanan sayıların adedine bölünmesiyle elde edilen (sayı) [TDK SÖZLÜK] anlamında kullanılmalı. Bu sebeple tanım yapılırken n>1 şartı olmalı diye düşündüm. Tek bir sayının ortalaması gerçekten çok anlamsız, anlamsız ve amaçsız bir ifadenin matematikte olmaması ve "tanımsız" olması gerektiğine inanıyorum.

---

Ortalamaların $n=0$ için tanımsız olması, $$ M_p = \left( \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n x_k^p  \right)^\frac{1}{p} $$ ifadesinde sıfır ile bölünme oluşturduğu içindir. Matematikte $0$'a bölme işlemi tanımsızdır. $n=1$ de ise ortalamalar tanımlıdır, çünkü bir sayısı $1$'e bölmek tanımlıdır.

Sonucu değiştirmediği için $n=1$ durumuna tanımsız dersek, kavramları çok kısıtlamış oluruz. Bir sayıyı $1$ ile çarpmak ve bölmek de sonuca etki etmez ama tanımsızdır demeyiz. Onun sonu iyi bir yere gitmez, bütün bir sistemi bozar. Ortalamalar özelinde düşününce, $n=1$ için tanımlı olmasının tamamen faydasız olmadığını gördüm şimdi. Şöyle bir artısı olabilir: Tümevarım ile kuvvet ortalamaları eşitsizliğini ispatlayacaksak (ya da daha basitçe aritmetik ortalama-geometrik ortalama eşitsizliğini ispatlayacaksak) ilk adım olan $n=1$ kolayca elde edilmiş oluyor.

 

Bu kavramları TDK sözlük ile referans almak da doğru olmaz. Çünkü akademik düzeydeki bir matematik konusu, dilbilimcilerin uzmanlık alanının dışında kalıyor.

---

Aklımda tam olarak oturtamadım hocam. Tümevarım'da kolaylık sağlıyor diye n=1 değerini tanıma katmak bana pek mantıklı gelmdi. Daah farklı bir amacı olabilir mi?

---

Hocam, $n=1$ için ortalama tanımı tamamen işlevsiz olmayabilir. Bunu örneklendirmek için tümevarım örneğini verdim. Bize göre bir işe yaramıyor da olabilir. Biz kullanmıyoruz diye dışlamak doğru olmaz.  Biz kullanmasak da, tanım olarak duran başka ifadeler de var: Örneğin $f: \emptyset \to \emptyset $. Böyle bir fonksiyon olur mu? Lise matematik kitaplarımızdaki tanımlara bakarsak, ''$A, B \neq \emptyset $ olmak üzere $f: A \to B$ ... '' diye giden tanımlar vardır. O halde '' $f: \emptyset \to \emptyset $ şeklinde fonksiyon olmaz'' diye düşünebiliriz. Fakat bunlar sadeleştirilmiş tanımlardır ve belli bir seviyedeki öğrenci için anlaşılırlığı artırmak amaçlı yapılmıtır. Öğrenme/öğretme yöntemi olarak doğrusu da sade biçimde olanı tercih etmektir. Fakat matematikte $f: \emptyset \to \emptyset $ diye birşey var mı diye sorulursa, burada var derim. $n=1$ tane sayının ortalaması kavramı, bu fonksiyon örneğinin yanında melek gibi kalıyor.

 

Başka bir örnek de modüler aritmetikte, $\mod 1$ diye bir şey olur mu? Etkisiz bir moddur, ancak, evet $\mod 1$ vardır. Hatta bununn mucidi olan C. F. Gauss, makalesinde modüler aritmetiğin tanımını yaparken, $a, b, n \in \mathbb Z$ olmak üzere $n\mid a- b$ ise $a \equiv b \pmod {n}$ ile göstereceğiz, diyor. Yani $n$ negatif bile olabilir. Şunu da biliyoruz ki $n\mid a- b \iff -n\mid a- b $ olduğundan $a \equiv b \pmod {n} \iff a \equiv b \pmod {-n}$ dir. Bu sebeple, $n\neq 0$ olmak üzere her $n$ tam sayısı için modüler aritmetik kavramı vardır. Bunu da bazı ders kitaplarında ''$n \geq 2$ tam sayı olmak üzere ...'' diye tanımlandığını görebiliriz. Buradaki amaç da $-n$ ile $n$ almak birbirine denktir, $n=1$ almak da çok kullanışlı değil,... bu sebeple $n \geq 2$ alınmasıdır. İşte bunlar açıklanırsa hiçbir sıkıntı yoktur bence. Lise derslerinde de pedagojiye uygun olarak $\mod 1$ diye bir şeye hiç girilmeyebilir. Fakat bu tür şeyler bağlamından koparılıp, ''modüler aritmetikte $n=1$ için mod kavramı tanımsızdır'' noktasına gelinebiliyor. Bu doğru birşey değil.

 

Derste konuyu sunarken, anlaşılırlığı  artırıyorsa en az iki sayı için ortalama hesaplatabilirsiniz. Bence, hiçbir sıkıntı yoktur. Fakat ''$n=1$ tane sayının ortalamasının matematikte yeri yoktur, tanımsızdır'' dersek bu yanlış olur.