G bir grup olmak üzere Z(G)={a elemanıdır G : ax=xa, her x elemanıdır G} kümesine G nin merkezi denir. Z(G) kümesinin, G nin bir alt grubu olduğunu gösteriniz.
Çözümüm :
z, boş küme değildir. G bir grup. a nın tersi a' olsun. aa'=a'a e=e dir. a' elemanıdır Z nin.
z, G nin alt kümesidir. Her x elemanıdır Z için x elemanı G olduğu için Z, G nin alt kümesidir.
Z(G)<G ancak ve ancak her x,y elemanıdır Z için xy' elemanıdır Z dir.
xy', Z nin elemanı ise a(xy')=(xy')a eşitliğini sağlaması gerekir.
G bir grup olduğundan birleşme özelliğini sağlar.
a(xy')=(ax)y'=(xa)y'=x(ay')=x(y'a)=(xy')a
Eşitlik sağlandığına göre Z(G)<G dir.
Hocalarım çözümümde bir hata olup olmadığını kontrol edebilir misiniz ? Cevaplarınız için şimdiden çok teşekkür ederim.