Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
1.2k kez görüntülendi
x, y, z    pozitif tam sayı,

x.y=3.m  y.z=4.m

x+y+z nin alabileceği en büyük değer 57 ise x+y+z nin alabileceği en küçük değer nedir?

3mz=4mx  --> 3z=4x olur Yani z=4k ise x=3k demektir.

Ancak alabileceği değer sorusuna bunu nasıl uyarlayacağımı bulamadım...
Orta Öğretim Matematik kategorisinde (18 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 1.2k kez görüntülendi
33 mü? Cevap lazım ilk
Soru rutin değil, nerede gördüğünü paylaşabilir misin?

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
Güzel (ve basit olmayan) bir soru.

Soruda, $ x+y+z $ nin maksimum değerini $57$ yapan $ m $ sayısı için $ x+y+z $ nin minimum değeri soruluyor.
    ($xy=3m,\ yz=4m$ den $ m $ nin de ($ m=yz-xy $ oluşundan) bir (pozitif) tamsayı olduğu görülüyor.)
Bu eşitliklerden, $y\mid m$ (ve bunun $x$ ve $z$ yi tamsayı yapmaya yeterli) olduğunu da görüyoruz.
    Önce $ m $ yi bulacağız.
    $ x={3m\over y},\ z={4m\over y} $ den, $ x+y+z={7m\over y}+y $ olur.
    En az bir $ y $ için $ {7m\over y}+y=57 $ olduğunu biliyoruz.
    $ y=1 $ iken (ve $y\mid m $  oluyor) $ m=8 $ bulunuyor.
     Ama, önce, başka böyle $ m $ olup olmadığını (ve $m=8$ için maksimum değerin $57$ olup olmadığını) kontrol etmeliyiz.
     $m>8$ (tamsayı) için $y=1,x=3m,z=4m$ istenen koşulları sağlar ve $x+y+z=1+7m>57$ olur, maksimum $57$ olmazdı.
 $ m<8 $ (tamsayı) değerleri için   $ xy\leq21,\ yz\leq28 $ den  $ x+y\leq22 $ ve $ y+z\leq 29 $, bunlardan da $ x+y+z<x+2y+z\leq 51 $ olur yine maksimum değer $57$ olmazdı.

Bunlar, bize, $m\neq8$ ise $x+y+z$ nin maksimum değerinin $57$ olamayacağını gösterdi.
$ m=8 $ iken ($y\mid m$ idi) $y=1$, $y=2$ , $y=4$ veya $y=8$ olması gerekiyor.

$y=1$ için $x+y+z=57$,

$y=2$ için $x+y+z=30$

$ y=4$ için $x+y+z=18$

$y=8$ için  $x+y+z=15$ olur.

Dolayısıyla, (sadece) $m=8$ için $x+y+z$ nin maksimum değeri $57$ olur ve bu durumda $ x+y+z $ nin  minimum değeri $15$ dir.
(6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
İlk çözümümde çok fazla gereksiz şeyler vardı.

3-4 düzeltmeden sonra, sanırım en basit (ama eksiksiz) şeklini yazabildim.
Teşekkürler. Aslında soru kolay gibi duruyor ancak ne kadar uğraştıysam da çözememiştim. Cevap verip merakımı giderdiğiniz için de ayrıca teşekkür ederim.
20,248 soru
21,774 cevap
73,415 yorum
2,142,436 kullanıcı