Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
349 kez görüntülendi
Sorumu örnek vererek açıklamak istiyorum.

$\int \dfrac{dx}{\sqrt{25x^{2}-4}}$ uygun dönüşüm yapıldığında $x=2/5 sec\theta$ dahasında elimizde

$\int \dfrac{\sec \theta \tan \theta d\theta }{\sqrt{4\left( \sec ^{2}\theta -1\right) }}=2/5\int \dfrac{\sec \theta \tan \theta d\theta }{2\sqrt{\tan ^{2}\theta }}=\dfrac{2}{5}\int \dfrac{\tan \theta \sec \theta d\theta }{ \tan \theta}(!!!!)=2/5 \int sec\theta d\theta$

Sorum $(!)$ işaretinin olduğu yerde. $\dfrac{2}{5}\int \dfrac{\tan \theta \sec \theta d\theta }{\left| \tan \theta \right| }$ olarak çıkması gerekmiyor mu? Gönül rahatlığıyla nasıl direk bir şekilde $tan\theta$ yazabiliyoruz.
Lisans Matematik kategorisinde (234 puan) tarafından  | 349 kez görüntülendi
Haklısın.  O çözüm biraz özensiz olmuş.

İntegralin hangi aralıkta alınacağını bilmeden mutlak değerden kurtaramayız.
$x=\sec \theta$ donusumu yapiyorsaniz, $0\leq\theta<\frac{\pi}{2}$ olmasi lazim (veya $\pi\leq\theta<\frac{3\pi}{2}$). O aralikta $\tan\theta\geq0$ dir. Ters trigonometric fonksiyon kullanacaginiz icin fonksiyon 1-1 olmali.
çözdüğüm tüm belirsiz integral sorularında (bu tarzda, bilhassa üç dönüşümün kullanıldığı sinx,tanx,secx) kök dışarısına mutlak değersiz çıkarılmış.

Diğer iki durumda ters fonksiyonun tanım kümesi aralık olduğundan mutlak değerden kurtulmak mümkündür.

Sadece bu durumda mutlak değerden kurtulamayız, çünki $\{x:25x^2-4\geq0\}=(-\infty,{-2\over 5}]\cup [{2\over 5},+\infty)$ aralık değil.  $\sec$ fonksiyonu da $[0,{\pi\over2})\cup ({\pi\over2},\pi] $ kümesinde 1-1 dir ve ters fonksiyonu genellikle bu kümede tanımlanır. Ama bu kümede ($5x=2\sec \theta$ ise) $\sqrt{25x^2-4}=2|\tan\theta|$ olur ve bu aralıklarda $\tan$ fonksiyonu farklı işaretlere sahiptir.

20,238 soru
21,758 cevap
73,397 yorum
2,055,962 kullanıcı