$ln(x^e)< x, \forall x\neq e$ olduğunu gösterin.

Question

$ln(x^e)< x, \forall x\neq e$

$ln(x)< x$ her pozitif x için küçük olduğunu biliyorum. O halde $ln(x^e)< x^e $. Devamını getiremiyorum

Comments

$x^e-e\ln x$ için türev almayı denedin mi?

---

$x-e\ln x$ fonksiyonunun maks-minimumlarını bulmayı dene.

---

Bir fonksiyon tanımlayıp türevini alarak sonucu gidebilmeyi nasıl fark edebildiniz?

Answer 1

$f=x-elnx$

$f'=1- e/x \to x=e$ kritik nokta çünkü türevi sıfır yapıyor. Tablo ile inceledim ve $x=e$ noktası local minimum noktası oluyor. $f(e)=0$ ve bu fonksiyon $(e,\infty)$ aralığında artan. $\forall x \in (0,\infty), f(x) > 0 \to x-ln(x^e) > 0 \to x >ln(x^e)$