Iki geodezik kac noktada kesisebilir?

Question

Bir riemmanyen manifoldda iki tane geodezik maksimum kac noktada kesisebilir? (iki geodezigin ayni oldugu durumu saymazsak). Bu sayi bize cok katlinin geometrisi/topolojisi hakkinda bir bilgi verir mi?

Bugun oyle dusunurken geldi aklima, oklid uzayinda iki dogru bir noktada kesisebiliyor, sanirim hiperbolik duzlem icin de aynisi gecerli, kurede ise iki "dogru" iki noktada kesisiyor.

Answer 1

Tor (torus) yüzeyi ("standart" Riemann metriği ile) üzerinde iki jeodezik sonsuz kez kesişebiliyorlar.

$T=\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$ jeodeziklerden biri düşey (veya yatay) bir doğrunun görüntüsü, diğeri  $y=\sqrt2\, x$ (EK: daha genel olarak irrasyonel eğimli, orijinden geçen herhangi bir) doğrusunun görüntüsü olsun. Bu jeodezikler sonsuz kez kesişir.

Eğimi $1\over n$ olan, orijinden geçen, doğrudan elde edilen jeodezik  ise (düşey doğrudan elde edilen önceki ile aynı) jeodeziği $n$ kere keser.

Comments

Biri alakasiz olacak (turkce sorusu aslinda) ama uc tane daha sorum olacak

Jeodezi mi geodezi mi ? jeodezi ise neden jeometri degil de geometri, geodezi ise neden geolji degil de jeoloji ?

Ikinci sorum ise, eger iki geodezigin kesisme sayisi 1 den buyuk ise, manifoldun en az bir noktada pozitif curvature a sahip oldugunu dusunuyorum. Rauch karsilastirma teoremini kullanmak istedim bu iddiami ostermek icin ama isin icinden cikamadim. acaba yanlis bir sani mi? bu kesisme sayisinin manifoldun yapisi hakkinda bildi verdigini hissediyorum  ama belki de yanlis hissediyorumdur.

Ucuncu sorum ise  manifold bagli degilse bu sayinin 0 olacagini dusunuyorum. Bu sayi 0 ise manifold bagli degildir diyebilir miyiz peki ?

Bu sayi diye bahsettigim sayi tabii her gicir riemmanyen manifold da iki geodeizigin maksimum kesisme sayisi (sonsuz da olabilir).