$K$ cisimi uzerindeki bir ic carpim uzayinda, $\langle x,y \rangle = 0 \iff \|y\| \leq \|y + \alpha x \| \quad \forall \alpha \in K$ ifadesi dogru mu?

Question

bu ifadenin dogrulugunu nasil gosteririm?

Comments

$||y+\alpha x||^2$ ni yazabilir misin?

---

$\langle y + \alpha x , y + \alpha x  \rangle$

$\langle y , y + \alpha x \rangle + \alpha \langle x , y + \alpha x \rangle$

$\langle y , y \rangle + \bar\alpha \langle y,x \rangle + \alpha \langle x , y \rangle + \alpha\bar\alpha\langle x,x \rangle$

$\| y \|^2 +(|\alpha|\|x\|)^2 + \bar\alpha \langle y,x \rangle + \alpha \langle x , y \rangle  $

anladim galiba

Okun bir yonunu gorebiliyorum. Eger iki vektor birbirine dik ise son iki terim $0$ olacak ve norm hep pozitif oldugu icin butun $\alpha$ lar icin dogru olacak sonuc.

Oteki yonunu goremedim henuz

---

Herhangi bir $x,y$ düşünelim. Bütün $\alpha$lar için son üç terim hep pozitif olur mu?

Kolaylık olsun diye reel bir $\alpha$ seçebiliriz.

---

biraz daha toparlamak istedim

$c = \langle x,y\rangle$ diyelim o zaman

$\bar c = \langle y,x\rangle$

Dikkatinizi cekmek isterim $c \in K$. $K$ yi komplex sayilar sectigimizde ic carpimin komplex olmamasi icin bir neden yok.

son haliyle

$\|y\|^2 +\|\alpha x\|^2 + \bar\alpha\bar c + \alpha c $

Birinci ve ikinci terim hep pozitif $\alpha$ dan bagimsiz olarak pozitif

ucuncu ve dorduncu terimin reel oldugunun bile garantisi yok ?

 

neyi kaciriyorum?

---

3. ve 4. terimler bir kompleks sayı ile eşleniği.

---

$\alpha \in \mathbb{R}$ için göstermesi daha kolay, sonra biraz değiştirerek (kompleks eşlenikliği kullanıp) $\mathbb{C}$ için de aynısını gösterebiliriz.