Matrislerde $det$ ve $tr$ arasındaki ilişki.

Question

Ali Nesin'in YouTube'daki Lie cebirleri dersine göz atıyordum. Bir kanıtta dikkatimi çeken bir şey oldu. Hoca her $A\in Mat_n(K)$ için $\det \exp{A} = \exp{tr{A}}$ eşitliğini kanıtlamak için şöyle yaptı:

Tersinir bir $P$ matrisiyle $A$'yı digonalize etti.

\[P^{-1}AP=\begin{pmatrix}
a_1 & 0 & 0 & 0\\
0 & a_2 & 0 & 0\\ 0 &0 &\dots & 0\\ 0 &0 &0& a_n
\end{pmatrix}\]

Sonra iki tarafın $\exp$'ini alarak

\[ \exp{A}=\exp{(P^{-1}AP)}=\begin{pmatrix}
e^{a_1} & 0 & 0 & 0\\
0 & e^{a_2} & 0 & 0\\ 0 &0 &\dots & 0\\ 0 &0 &0& e^{a_n}
\end{pmatrix} \]

yazdı ve son olarak determinant alarak

\[ \det \exp{A} = e^{a_1+a_2+\dots+a_n}=\exp{trA} \]

buldu. Benim anlamlandıramadığım nokta ise baştaki $A$ matrisinin diagonalize edilebileceğini nereden biliyoruz? Ya $A=\begin{pmatrix} 1&1\\0&1 \end{pmatrix}$ gibi bir şey olursa?

Bir de matrislerle değil de genel olarak homomorfizmalarla çalışmak istersek bu kanıtı nasıl yapabiliriz? O durumda $tr$ ve transpoz gibi şeyler tanımlanır mı?

Comments

Üst üçgenleştirirsek (o her cebirsel kapalı cisimde mümkün) de aynı şey olmuyor mu?

---

O zaman $\exp$'yi böyle kolay alabileceğimizi göremedim. Ayrıca $\mathbb{R}$ için bu doğru değil mi?

---

Jordan normal formu kullansak?
her $X$ matrisini $X = D+N$ seklinde yazabiliyoruz. Burada $D$ diagnoloze edilebilirz, $N$ ise nilpotent bir matris. Dikkatinizi cekmek isterim ki $DN = ND$. sunu diyebiliriz o zaman $exp(X) = exp(D)exp(N)$ sanirim bunu ve $tr(N)=det(N)=0$ ozelliklerini kullanarak istediginiz sonuca ulasabilirsiniz

 

Duzenleme sonrasi: tam olarak jordan normal form degil ama alakali imis. Su link yaptigim seyleri daha alti dolu bir sekilde anlatiyor

---

Hiç bilmediğim şeyler, ama öğrenmeye çalışıyorum, çok teşekkür ederim.

---

@teomanof:

$\mathbb{C}$ de doğru olduğundan, $\mathbb{R}$ de doğru olmaz mı?

---

$\mathbb{R}$-matrisler üst üçgenselleştirilebilir değil diye tahmin ediyorum. Çünkü $Ae_1=ke_1$ olması gerektiğinden döndürme matrislerinde olmuyor gibi. (Bununla ilgili bir kelam bulamadım hiçbir yerde, bir şey mi kaçırıyorum?) O zaman matrisi üst üçgenselleştiremediğimizden kanıtı yapamayız gibi geldi. Üst üçgenselleştirsek bile $\exp$'yi kolayca hesaplayabilir miyiz?

---

Bir matris üst (veya alt) üçgenleştirilebilirdir $\Leftrightarrow$ Minimal polinom lineer çarpanlara ayrılılabilir $\Leftrightarrow$ Karakteristik polinomun kökleri o cismin elemanıdır. 

(Bu nedenle cebirsel kapalı her cisim üzerindeki her kare matris üst(ve alt) üçgenleştirilebilirdir.)

Wikipedia

---

@teomanof sunu hesaplayabilir misin ?
$ \exp{( \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix})} = \exp{( \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} +  \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{bmatrix})} = ?$