Processing math: 9%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.1k kez görüntülendi
Ali Nesin'in YouTube'daki Lie cebirleri dersine göz atıyordum. Bir kanıtta dikkatimi çeken bir şey oldu. Hoca her AMatn(K) için det eşitliğini kanıtlamak için şöyle yaptı:

Tersinir bir P matrisiyle A'yı digonalize etti.

P^{-1}AP=\begin{pmatrix} a_1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & a_2 & 0 & 0\\ 0 &0 &\dots & 0\\ 0 &0 &0& a_n \end{pmatrix}

Sonra iki tarafın \exp'ini alarak

\exp{A}=\exp{(P^{-1}AP)}=\begin{pmatrix} e^{a_1} & 0 & 0 & 0\\ 0 & e^{a_2} & 0 & 0\\ 0 &0 &\dots & 0\\ 0 &0 &0& e^{a_n} \end{pmatrix}

yazdı ve son olarak determinant alarak

\det \exp{A} = e^{a_1+a_2+\dots+a_n}=\exp{trA}

buldu. Benim anlamlandıramadığım nokta ise baştaki A matrisinin diagonalize edilebileceğini nereden biliyoruz? Ya A=\begin{pmatrix} 1&1\\0&1 \end{pmatrix} gibi bir şey olursa?

Bir de matrislerle değil de genel olarak homomorfizmalarla çalışmak istersek bu kanıtı nasıl yapabiliriz? O durumda tr ve transpoz gibi şeyler tanımlanır mı?
Lisans Matematik kategorisinde (100 puan) tarafından  | 1.1k kez görüntülendi
Üst üçgenleştirirsek (o her cebirsel kapalı cisimde mümkün) de aynı şey olmuyor mu?
O zaman \exp'yi böyle kolay alabileceğimizi göremedim. Ayrıca \mathbb{R} için bu doğru değil mi?

Jordan normal formu kullansak?
her X matrisini X = D+N seklinde yazabiliyoruz. Burada D diagnoloze edilebilirz, N ise nilpotent bir matris. Dikkatinizi cekmek isterim ki DN = ND. sunu diyebiliriz o zaman exp(X) = exp(D)exp(N) sanirim bunu ve tr(N)=det(N)=0 ozelliklerini kullanarak istediginiz sonuca ulasabilirsiniz

 

Duzenleme sonrasi: tam olarak jordan normal form degil ama alakali imis. Su link yaptigim seyleri daha alti dolu bir sekilde anlatiyor

Hiç bilmediğim şeyler, ama öğrenmeye çalışıyorum, çok teşekkür ederim.
@teomanof:

\mathbb{C} de doğru olduğundan, \mathbb{R} de doğru olmaz mı?
\mathbb{R}-matrisler üst üçgenselleştirilebilir değil diye tahmin ediyorum. Çünkü Ae_1=ke_1 olması gerektiğinden döndürme matrislerinde olmuyor gibi. (Bununla ilgili bir kelam bulamadım hiçbir yerde, bir şey mi kaçırıyorum?) O zaman matrisi üst üçgenselleştiremediğimizden kanıtı yapamayız gibi geldi. Üst üçgenselleştirsek bile \exp'yi kolayca hesaplayabilir miyiz?

Bir matris üst (veya alt) üçgenleştirilebilirdir \Leftrightarrow Minimal polinom lineer çarpanlara ayrılılabilir \Leftrightarrow Karakteristik polinomun kökleri o cismin elemanıdır. 

(Bu nedenle cebirsel kapalı her cisim üzerindeki her kare matris üst(ve alt) üçgenleştirilebilirdir.)

Wikipedia

@teomanof sunu hesaplayabilir misin ?
\exp{( \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix})} = \exp{( \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} +  \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{bmatrix})} = ?
20,314 soru
21,868 cevap
73,590 yorum
2,865,411 kullanıcı