Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.1k kez görüntülendi
Ali Nesin'in YouTube'daki Lie cebirleri dersine göz atıyordum. Bir kanıtta dikkatimi çeken bir şey oldu. Hoca her AMatn(K) için detexpA=exptrA eşitliğini kanıtlamak için şöyle yaptı:

Tersinir bir P matrisiyle A'yı digonalize etti.

P1AP=(a10000a200000000an)

Sonra iki tarafın exp'ini alarak

expA=exp(P1AP)=(ea10000ea200000000ean)

yazdı ve son olarak determinant alarak

detexpA=ea1+a2++an=exptrA

buldu. Benim anlamlandıramadığım nokta ise baştaki A matrisinin diagonalize edilebileceğini nereden biliyoruz? Ya A=(1101) gibi bir şey olursa?

Bir de matrislerle değil de genel olarak homomorfizmalarla çalışmak istersek bu kanıtı nasıl yapabiliriz? O durumda tr ve transpoz gibi şeyler tanımlanır mı?
Lisans Matematik kategorisinde (100 puan) tarafından  | 1.1k kez görüntülendi
Üst üçgenleştirirsek (o her cebirsel kapalı cisimde mümkün) de aynı şey olmuyor mu?
O zaman exp'yi böyle kolay alabileceğimizi göremedim. Ayrıca R için bu doğru değil mi?

Jordan normal formu kullansak?
her X matrisini X=D+N seklinde yazabiliyoruz. Burada D diagnoloze edilebilirz, N ise nilpotent bir matris. Dikkatinizi cekmek isterim ki DN=ND. sunu diyebiliriz o zaman exp(X)=exp(D)exp(N) sanirim bunu ve tr(N)=det(N)=0 ozelliklerini kullanarak istediginiz sonuca ulasabilirsiniz

 

Duzenleme sonrasi: tam olarak jordan normal form degil ama alakali imis. Su link yaptigim seyleri daha alti dolu bir sekilde anlatiyor

Hiç bilmediğim şeyler, ama öğrenmeye çalışıyorum, çok teşekkür ederim.
@teomanof:

C de doğru olduğundan, R de doğru olmaz mı?
R-matrisler üst üçgenselleştirilebilir değil diye tahmin ediyorum. Çünkü Ae1=ke1 olması gerektiğinden döndürme matrislerinde olmuyor gibi. (Bununla ilgili bir kelam bulamadım hiçbir yerde, bir şey mi kaçırıyorum?) O zaman matrisi üst üçgenselleştiremediğimizden kanıtı yapamayız gibi geldi. Üst üçgenselleştirsek bile exp'yi kolayca hesaplayabilir miyiz?

Bir matris üst (veya alt) üçgenleştirilebilirdir Minimal polinom lineer çarpanlara ayrılılabilir  Karakteristik polinomun kökleri o cismin elemanıdır. 

(Bu nedenle cebirsel kapalı her cisim üzerindeki her kare matris üst(ve alt) üçgenleştirilebilirdir.)

Wikipedia

@teomanof sunu hesaplayabilir misin ?
exp([1101])=exp([1001]+[0100])=?
20,312 soru
21,868 cevap
73,589 yorum
2,859,838 kullanıcı