Ben de benzer sonuclar elde ettim paylasmak isterim.
xn+1=xn+c(Axn−I) dizisinin A−1 e yakinsadigini varsayalim.
ϵn=A−1−xn olsun. x dizisinin in gercekten yakinsamasi icin ϵ dizisinin limitinin 0 olmasi gerekiyor. Bu diziyi inceleyelim. Orjinal iterasyonun icine yerlestirelim ϵ u
A−1−ϵn+1=A−1−ϵn+c(A(A−1−ϵn)−I)
ϵn+1=ϵn+cAϵn
ϵn+1=(I+cA)ϵn
buradan sanirim diyebiliriz ki
ϵm=(I+cA)mϵ0
sanirim burada ‖I+cA‖<1 diyip durabiliriz,
peki bu ‖⋅‖ ne ?
galiba burada matriks normundan cok butun matriks normlarinin infimumuna bakmak gerekiyor. Spektral yaricap aradigimiz cevap olabilir.
Buraradan asagisi ikinci duzenleme oncesinde yazildi .
ben spektral normu sectim. sanirim sonlu vektor uzayinda calistigimiz icin hangi normu sectigimin pek bir onemi olmamali ama emin degilim.
Bu norm bir operator normu. Yani‖A‖2,2=supx≠0‖Ax‖2‖x‖2. Pek onemli degil sanirim yapacagimiz is icin ama gene de bahsedeyim dedim.
Spektral normu soyle hesaplayabiliriz.
‖A‖2=σ1(A)=√λmax(A∗A)
burada σ1 asagida bahsettigim singular value decompositiondaki diagonal Σ matrisinin en buyuk degeri.
Duzenleme sonrasi: burayi onceden yazmistim dogru sanirim ama gereksiz
ama soyle fikirler geldi aklima
D=I+cA matrisinin Singular Value Decompositionini alalim.
Hatirlatma adina her D∈Cn×m yi, su matrisleri kullanarak
Σ∈Cn×m,U∈Cn×n,V∈Cm×m ,
su sekilde ifade edebiliyoruz
D=UΣV∗
U ile V burada komplex unitary matrixler.
burada hatirlatmak isterim ki unitary matriksler normu degistirmez. yani
‖D‖=‖Σ‖
yani diyebiliriz ki I+cA nin singular degerlerinin normu 1 den kucuk oldugu surece yakinsar daha guzellestirmedi sanki durumu ama gene de paylasmak istedim.
peki c∈R yi birakip daha genel bir c icin sorsak soruyu serinin yakinsayabilecegi matrisler degisir mi ?