Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
356 kez görüntülendi
$\mathbb{R}^2$ ve $\mathbb{R}^3$ üzerindeki alışılmış topolojiler sırasıyla $\mathcal{U}^2$ ve $\mathcal{U}^3$olmak üzere

$B=\{(x,y,z) | x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=1\} \setminus \{(0,0,2)\} \subseteq \mathbb{R}^{3}$ ise

$(B, \mathcal{U}_{B}^3) \cong (\mathbb{R}^2, \mathcal{U}^2)$ olduğunu gösteriniz.
Lisans Matematik kategorisinde (56 puan) tarafından 
tarafından yeniden kategorilendirildi | 356 kez görüntülendi
Bu sey degil mi su an ayildim

Kurenin kuzey kutbuna lamba yerlestirelim kurenin duzlem uzerindeki golgesine bakalim. Stereografik projeksyon deniliyor sanirim. Hatta homeomorfizmadan fazlasi olmali, bijektif ve gicir, sanirim acilari da koruyor

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Soruyu daha genel cozmek istedim.

$S^n = \{ (x_1, \cdots,x_{n+1})|\sum x_i = 1\}$ olsun. ($n+1$ boyutta kure)

$L = (1,0,0,\cdots,0)$ lambayi yerlestirdigimiz yer olsun.

$S^n \setminus L$ ile $\mathbb{R}^n$ arasinda homeomorfizma yazacagim.

$\pi : S^n \setminus L  \to \mathbb{R}^n$

$\pi((x_1, \cdots,x_{n+1}) = \frac{1}{1-x_1}(0,x_2,\cdots,x_{n+1})$

biraz ugrasarak gosterilebilir ki $\pi$ bir bijeksiyon ve tersi

$\pi^{-1}((x_1, \cdots,x_{n}) = \frac{1}{1 + \sum x_i^2}(2x_1,\cdots,2x_n,-1+\sum x_i^2)$
[duzenleme :ters prokeksyonda ortak bolme faktorunde toplamanin icine kare yazmayi unutmustum]
(iki fonksyonun sagdan ve soldan bilesimlerine bakilip $\mathbb{\text{id}}$ elde edildigi gosterilebilir)

Dikkat ederseniz kullandigimiz $\pi$ ve tersini yazmak icin kullandigimiz butun fonksyonlar surekli (toplama carpma etc.). Surekli fonksiyonlarin bilesimi surekli oldugu icin

$\pi$ ve $\pi^{-1}$ surekli diyebiliriz. Boylece homeomorfizma oldugunu gostermis olduk.

 

Zamanim oldugunda 3 boyutta bir kure icin gif ini de ekleyecegim

tam kafama yatan bir animasyon yaratamadim. Denemelerim icin su soruya bakabilirsiniz

(1.6k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,246 soru
21,768 cevap
73,412 yorum
2,123,439 kullanıcı