Dönel cismin hacmini bulunuz

Question

Çapı $|AB|=4$ cm  olan çemberin $A$ noktasından çapla $7,5^{\circ}$ açılar yapan iki kesen (kiriş) çiziliyor $(AC,\,AD)$. $C$ ve $D$ noktaları $B$ ile birleştiriliyor. $ACBD$ dörtgeninin, $AB$ etrafında dönmesiyle oluşan dönel cismin hacmini bulunuz.

1971 yılı İTÜ Giriş Sınavı sorusu.

Answer 1

Çemberin merkezine $O$ diyelim.

$|OC|=|OD|=2$ ve $\angle COD=30^\circ$ olur.

($OCD$ üçgeninde) Kosinüs teoreminden, $|CD|=\sqrt{8-4\sqrt3}=2\sqrt{2-\sqrt3}$ bulunur.

$ACE$ üçgeni ve $BCE$ üçgeninin ($AB$ etrafında) dönmesiyle oluşan, (tabanlarını ortak olan) iki koninin yapışması ile oluşan cismin hacmi soruluyor.

(Konilerin ortak taban yarıçapı olan) $r=\frac12|CD|=\sqrt{2-\sqrt3}$ olur.

Konilerin yükseklikleri toplamı $h_1+h_2=|AB|=4$ olur.

Hacim$=\frac13\pi r^2h_1+\frac13\pi r^2h_2=\frac13\pi r^2(h_1+h_2)=\frac43\pi r^2=\frac{4(2-\sqrt3)\pi}{3}$ bulunur.