Eğer $f(x)$'in limiti varsa $f(x)$ sınırlıdır.

Question

$\lim _{x\rightarrow x_0}f\left( x\right) \Leftrightarrow \forall \varepsilon  >0,\exists \delta  >0:\left| x-x_{0}\right|  <\delta \rightarrow \left| f\left( x\right) -L\right|  <\varepsilon $

Comments

Sınırlı olan şey ne?

---

Bu önerme doğru değil.

$\forall x\in\mathbb{R}$ için $f(x)=x$ fonksiyonunun her noktada limiti vardır ama sınırlı değildir.

Eksik olan bir şey var, onu ekleyince, Analiz derslerinde kolayca ispatlanan, standart bir önerme olacaktır.

---

sınırlı olan f(x), yazmayı ihmal etmişim

Answer 1

$\lim _{x\rightarrow x_0}f\left( x\right) \Leftrightarrow \forall \varepsilon  >0,\exists \delta  >0:\left| x-x_{0}\right|  <\delta \rightarrow \left| f\left( x\right) -L\right|  <\varepsilon$

$L-\varepsilon<f(x)<L+\varepsilon$ $\to |f(x)|<K : K=max  \{L-\varepsilon,L+\varepsilon\}$

Comments

1. $|x-x_0|\geq\delta$ ise $f(x)$ için sınır var mı? (Eksik dediğim kısım burası)

2 . $|x-x_0|<\delta$ iken de sorun var. $K=\max\{L-\varepsilon,L+\varepsilon\}$ için, $|f(x)|<K$ olduğunu açık açık göstermeyi bir dene.

EK: Aslında $K=\max\{L-\varepsilon,L+\varepsilon\}=L+\varepsilon$ olduğu aşikar değil mi?

Ama bu $K$ değeri negatif bile olabilir.

---

Hocam, ne yapıcağımı bilemedim

---

$a<b<c$ ise $|b|$ için ($a$ ve $b$ ye bağlı) bir üst sınır bulamaz mısın?

(Veya $|f(x)|=|(f(x)-L)+L|$ oluşu aklına bir şey getiriyor mu?)

1. soruyu da düşünmelisin.