Eğer fonksiyonun limiti varsa o biriciktir.

Question

Çelişki elde etmek için iki tane olduğunu varsaydım,$\lim _{x\rightarrow x_{0}}f\left( x\right) =L_{1}$  ve $\lim _{x\rightarrow x_{0}}f\left( x\right) =L_{2}$ olsun.

$\lim _{x\rightarrow x_{0}}f\left( x\right) =L_{1}\Leftrightarrow \forall \varepsilon  >0\exists \delta_1  >0:\left| x-x_{0}\right|  <\delta_1 $ şunu ima eder $\left| f\left( x\right) -L_{1}\right|  <\varepsilon $

$\lim _{x\rightarrow x_{0}}f\left( x\right) =L_{2}\Leftrightarrow \forall \varepsilon  >0\exists \delta_2  >0:\left| x-x_{0}\right|  <\delta_2 $ şunu ima eder $\left| f\left( x\right) -L_{2}\right|  <\varepsilon $

Şunu yazdım, ,$| L_1 - L_2 | = | L_1-f(x)+f(x)+L_2|\le |L_1-f(x)|+|f(x)+L_2|$

$\delta=min\{\delta_1,\delta_2\}$ ve $\left| x-x_{0}\right|<\delta$ $\to | L_1 - L_2 |  <2\varepsilon$

Epsilon sıfırdan büyük keyfi küçük sayı olduğu için şunu elde ederiz $L_1-L_2=0 \to L_1=L_2$

Buraya kadar benim için her şey yolunda sadece iki tane sorum olacak.

1) Neden $\delta$'ların minimumunu seçtik?

2) $L_1-L_2=0$ 'deki geçişi anlayamadım.

Comments

Limit tanımında

$x_0$ ile $f$ nin tanım kümesi arasnda bir koşul eklenmeli, aksi halde bu yapılanlar, iddiayı ispatlamaya yetmez.

$0<|x-x_0|<\delta$ olmalı.

---

Hocam ben şöyle bir şey düşündüm ama emin olamadım.

$\varepsilon,$ sıfırdan büyük en küçük pozitif sayı buna göre bir mutlak değerin sonucu $\varepsilon$'dan küçükse demekki bu sonuç sıfırdır" mı demem gerekiyor ?

---

"sıfırdan büyük en küçük pozitif gerçel (reel) sayı " yoktur.

---

hocam $\varepsilon$ sıfıra çok yakın bir sayı değil mi ?

---

&epsilon;'nu kafamıza göre küçültebileceğimizden dolayı sıfır oluyor. Mesela |L1&minus;L2|=5 varsayalım. &epsilon;=2 alıp çelişki elde ederiz.