an−bn=(a−b)∑n−1i=0an−1−ibi
Kanıt: n üzerine tümevarımla. İlk n'ler için Ökkeş yazmış.
Şimdi n için kabul edip n+1 için kanıtlayalım.
an+1−bn+1=aan−bbn=aan−abn+abn−bbn=a(an−bn)+bn(a−b)=TVa(a−b)∑n−1i=0an−1−ibi+bn(a−b)=(a−b)(∑n−1i=0an−ibi+bn)=(a−b)∑ni=0an−ibi
İstediğimiz kanıtlandı.