Bölünebilme Kuralları

Question

6 ile tam bölünebilen kaç farklı 2abc dört basamaklı doğal sayısı vardır?

Answer 1

Soruyu soyle dusunsek: $abc$ (uc basamakli olmak zorunda degil) sayisi $2$ ile tam bolunsun ve $3$ ile bolumunden kalan $1$ olsun. Bunu saglayan en kucuk sayi $4$ ve en buyuk sayi $994$.

O zaman $\frac{994-4}{6}+1=166$.

Answer 2

Soruyu şuna çevirelim: $k\in \mathbb N$ ve $l\in \mathbb N-\{0\}$ olmak üzere,

$$\begin{aligned} a+b+c+2&=3k\\ c&=2l \end{aligned}$$

sistemini çözen tüm $(a,b,c)$ üçlülerini bulunuz.

İkiye bölünmesinin gerekliliğinden saymaya $c$'yi farklı değerlerde sâbitleyerek başlamak lâzımdır. Zîrâ $3$'e bölünebilmede tek önemli olan sayı değerlerinin toplamıdır.

$l=0\Rightarrow c=0$ alalım: $2ab0$ sayısı. $a+b+2=3k$ nasıl sağlanır? $(a,b)$ şeklinde bir gösterim kullanırsak, 

$$\begin{aligned} k=1&\rightarrow (1,0)-(0,1)\\ k=2 &\rightarrow (4,0)-(3,1)-(2,2)-(1,3)-(0,4) \\ k=3 &\rightarrow (7,0)-(6,1)-(5,2)-(4,3)-(3,4)-(2,5)-(1,6)-(0,7) \\ k=4 &\rightarrow (9,1)-(8,2)-(7,3)-(6,4)-(5,5)-(4,6)-(3,7)-(2,8)-(1,9) \\ k=5&\rightarrow (9,4)-(8,5)-(7,6)-(6,7)-(5,8)-(4,9) \\ k=6 &\rightarrow (9,7)-(8,8)-(7,9) \\ k=7 &\rightarrow a+b=19 \,\mbox{veren a,b sayıları yoktur!}  \end{aligned}$$ Yâni, $c=0$ için $33$ sayı vardır.

$c=2$ için $a+b=3k-4$ sağlanmalı. $k>1$ olmalı, yâni, $$a+b=\left\{ \begin{aligned} 2 (3)\\ 5(6) \\ 8(9) \\ 11(8) \\ 14(8) \\ 17(2) \end{aligned} \right.$$ sağlayan $(a,b)$ ikilileri bulunmalı. Parantez içindekiler, herbir duruma karşılık gelen sayıların sayısıdır. Yâni, $c=2$ için toplam $36$ sayı vardır.

Daha sonra $c=4$'ü hesaplamak yeter. $c=6, 8$ durumları $c=0,2$ durumlarına denktir.

$c=4$ için $a+b=3k-6$ sağlanmalı. $k>1$ olmalı, yâni, $$a+b=\left\{ \begin{aligned} 0 (1)\\ 3(4) \\ 6(7) \\ 9(10) \\ 12(7) \\ 15(4)\\18(1) \end{aligned} \right.$$ sağlayan $(a,b)$ ikilileri bulunmalı. Parantez içindekiler, herbir duruma karşılık gelen sayıların sayısıdır. Yâni, $c=4$ için toplam $34$ sayı vardır.

Tanımları îtibâriyle bulunan tüm ikililer ve üçlüler farklıdır, aynı sayıyı üretmezler. 

Hesabımızın sonunda, bu şartı sağlayan dört basamaklı $2abc$ sayılarının sayısı: $$33+36+34+33+36=139$$ olarak bulunur. Biraz kaba kuvvet oldu, ama bulduk!

Answer 3

Yasin Hocam toplamınızın 139 değil 172 olması lazım. Bu arada sayıyı mod 6 da düşünürsek $abc=4(mod  6)$ denkliğini çözmek gerekir.