∑∞n=1|an|p=1 ve ∑∞n=1|bn|q=1 olacak şekilde iki tane (an) ve (bn) dizisini ele alalım. α:=|an| ve β:=|bn| olarak alırsak Young eşitsizliğini kullanarak
α.β=|an|⋅|bn|=|an⋅bn|≤1p⋅|an|p+1q|bn|q
⇒∑∞n=1|an⋅bn|≤1p∑∞n=1|an|p+1q∑∞n=1|bn|q=1p+1q=1
an:=xn(∑∞n=1|xn|p)1/p ve bn:=yn(∑∞n=1|yn|q)1/q alınırsa
∞∑n=1|an⋅bn|≤1⇒∞∑n=1|xn(∑∞n=1|xn|p)1/p⋅yn(∑∞n=1|yn|q)1/q|≤1
⇒∞∑n=1|xn⋅yn|≤(∞∑n=1|xn|p)1/p⋅(∞∑n=1|yn|q)1/q.
NOT: YOUNG EŞİTSİZLİGİ:
α,β>0, 1p+1q=1 ve p>1 olmak üzere α⋅β≤αpp+βqq.