Hölder eşitsizliğini kanıtlayınız.

Question

$p>1, \ \frac1p+\frac1q=1$  ve  $(x_n),(y_n)\in \mathcal{l}^p$ olsun.

$$\sum_{i=1}^{\infty}|x_i\cdot y_i|\leq \left(\sum_{i=1}^{\infty}|x_i|^p\right)^{\frac{1}{p}}\cdot \left(\sum_{i=1}^{\infty}|y_i|^q\right)^{\frac{1}{q}}$$ olduğunu gösteriniz.

 

Not: $$\mathcal{l}^p:=\left\{(x_n)\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\Big{|}\sum_{n=1}^{\infty}|x_n|^p<\infty\right\}$$

Answer 1

$\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|^p=1$ ve  $\sum_{n=1}^{\infty}|b_n|^q=1$ olacak şekilde iki tane $(a_n)$ ve $(b_n)$ dizisini ele alalım. $\alpha:=|a_n|$  ve  $\beta:=|b_n|$ olarak alırsak Young eşitsizliğini kullanarak

$\alpha . \beta= |a_n|\cdot|b_n|=|a_n \cdot b_n| \leq \frac1p \cdot|a_n|^p+ \frac1q |b_n|^q$

$\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}|a_n \cdot b_n|\leq\frac1p \sum_{n=1}^{\infty}|a_n|^p + \frac1q  \sum_{n=1}^{\infty}|b_n|^q=\frac1p+\frac1q=1$

$a_n:=\frac{x_n}{\left(\sum_{n=1}^{\infty}|x_n|^p\right)^{1/p}}$  ve  $ b_n:=\frac{y_n}{\left(\sum_{n=1}^{\infty}|y_n|^q\right)^{1/q}}$ alınırsa

$$\sum_{n=1}^{\infty}|a_n \cdot b_n|\leq1\Rightarrow\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{x_n}{\left(\sum_{n=1}^{\infty}|x_n|^p\right)^{1/p}} \cdot \frac{y_n}{\left(\sum_{n=1}^{\infty}|y_n|^q\right)^{1/q}}\right|\leq1$$

$$\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}|x_n \cdot y_n|\leq \left(\sum_{n=1}^{\infty}|x_n|^p\right)^{1/p} \cdot \left(\sum_{n=1}^{\infty}|y_n|^q\right)^{1/q}.$$

NOT:   YOUNG EŞİTSİZLİGİ:

$\alpha,\beta >0,  \  \frac1p+\frac1q=1$  ve  $p>1$  olmak üzere $$\alpha\cdot \beta \leq \dfrac{\alpha ^p}{p}+\dfrac{\beta^q}{q}.$$