Logaritmalı Eşitsizlik

Question

İki eşitsizlik sorusu sunacağım. Birincisi temel düzeydedir, ikincisi ise logaritma içerdiği için temel yöntemlerle bulunabilir mi biliyorum. (İlla basit eşitsizlik kullanmak zorunda değilsiniz. Kurguyu, integral eşitsizlikleri kullanarak yaptım.) Daha sonra kendi çözümümü de ekleyeceğim. Bilgi birikimi olarak sitede bulunur. İyi çalışmalar ...

 

Problem 1. Her $0<a \leq b$ için $$(b-a)^2 \leq \left(  \dfrac1a - \dfrac1b \right) \cdot \left(  \dfrac{b^3-a^3}{3} \right) $$  olduğunu kanıtlayınız.

 

 

Problem 2. Her $0<a \leq b$ için $$(b-a)^2 \leq  \left(\ln{\dfrac {b}{a}}\right) \cdot \left(  \dfrac{b^2-a^2}{2} \right) $$ olduğunu kanıtlayınız.

Comments

Birincisi için (alternatif çözüm)

$b^3-a^3-3ab(b-a)=(b-a)^3\geq0$ dan,

$\frac{b^3-a^3}3\:\frac1{ab}\geq b-a$ olur. 

$\frac{b^3-a^3}3\:\frac{b-a}{ab}\geq (b-a)^2$ olur.

$\frac{b^3-a^3}3\:\left(\frac1a-\frac1b\right)\geq (b-a)^2$ 

elde edilir.

---

Neden b-a sadeleştirmesi yapmıyoruz? İki tarafta da bu çarpan var. Böyle olunca çok kolay oluyor.

Answer 1

C-S İntegral Eşitsizliği'ni kullanarak birçok eşitsizlik üretebiliriz:

 

Problem 1'in Çözümü: $f(x)=\dfrac{1}{x}$, $g(x)=x$ fonksiyonlarını alalım. $0<a \leq b$ için bu fonksiyonlar $[a,b]$ üzerinde süreklidir. C-S integral eşitsizliğini uygularsak $ \left(\int\limits_{a}^{b}dx \right)^2 \leq \int\limits_{a}^{b}\dfrac{1}{x^2}dx \int\limits_{a}^{b}x^2dx$ olup buradan

$(b-a)^2 \leq \left(  \dfrac1a - \dfrac1b \right) \cdot \left(  \dfrac{b^3-a^3}{3} \right) $ eşitsizliği elde edilir. (Bu eşitsizliğin, temel eşitsizlik yöntemleriyle ispatı yorumlarda verildi.)

 

Problem 2'nin Çözümü: $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt {x}}$, $g(x)=\sqrt {x}$ fonksiyonlarını alalım. $0<a \leq b$ için bu fonksiyonlar $[a,b]$ üzerinde süreklidir. C-S integral eşitsizliğini uygularsak $ \left(\int\limits_{a}^{b}dx \right)^2 \leq \int\limits_{a}^{b}\dfrac{1}{x}dx \int\limits_{a}^{b}xdx$ olup buradan

$(b-a)^2 \leq  \left(\ln{\dfrac {b}{a}}\right) \cdot \left(  \dfrac{b^2-a^2}{2} \right) $ eşitsizliği elde edilir. Bu uygulamadaki eşitsizliğimiz logaritma içerdiği için temel yöntemlerle ispatlamayı denersek, önceki uygulamaya göre daha zor bir problem olarak karşımıza çıkacaktır.

 

$f$ ve $g$ fonksiyonlarını değiştirilerek çok farklı eşitsizliklere ulaşılabilir.