Euler sayıları ile tanjant serisi

Question

Euler sayıları şu şekilde tanımlanır:

$$\begin{align} \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!}x^{2n}=\dfrac{1}{\cos x} \end{align}$$

Bu seriyi de $\sin x$ ile çarparsak (Cauchy seri çarpımı yapıyoruz.)

$$\begin{align} \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}=\sum_{k=0}^\infty \dfrac{(-1)^k E_{2k}}{(2k)!}x^{2k} \cdot \sum_{i=0}^\infty \dfrac{(-1)^i}{(2i+1)!}x^{2i+1} \end{align}$$

Buradan:

$$\begin{align} \sum_{i=0}^\infty \left(\sum_{k=0}^i \dfrac{(-1)^k E_{2k}}{(2k)!}x^{2k} \cdot\dfrac{(-1)^{i-k}}{(2i-2k+1)!}x^{2i-2k+1}\right) \end{align}$$

Ve eğer düzenlersek:

$$\begin{align} \sum_{i=0}^\infty \left(\sum_{k=0}^i  \dfrac{E_{2k}}{(2k)!(2(i-k)+1)!}\right)x^{2i+1}(-1)^i \end{align}$$

$$\begin{align} \sum_{0\leq k\leq 2i}^\infty  \dfrac{(x^{2i+1}(-1)^i)E_{2k}}{(2k)!(2(i-k)+1)!} \end{align}$$

 

$$\begin{align} \sum_{0\leq k\leq 2i}^\infty  {2i+1 \choose 2k}\dfrac{(x^{2i+1}(-1)^i)E_{2k}}{(2i+1)!} \end{align}$$

 

Burada amacım Bernoulli sayılarını kullanmadan daha kolay bir şekilde tanjantı hesaplamaktı. Bunu daha önce bir yerde göremedim, eğer bilen herhangi biri varsa düzeltebilir. Teşekkür ederim.