Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
238 kez görüntülendi
Euler sayıları şu şekilde tanımlanır:

\begin{align}
\sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!}x^{2n}=\dfrac{1}{\cos x}
\end{align}

Bu seriyi de $\sin x$ ile çarparsak (Cauchy seri çarpımı yapıyoruz.)

\begin{align}
\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}=\sum_{k=0}^\infty \dfrac{(-1)^k E_{2k}}{(2k)!}x^{2k} \cdot \sum_{i=0}^\infty \dfrac{(-1)^i}{(2i+1)!}x^{2i+1}
\end{align}

Buradan:

\begin{align}
\sum_{i=0}^\infty \left(\sum_{k=0}^i \dfrac{(-1)^k E_{2k}}{(2k)!}x^{2k} \cdot\dfrac{(-1)^{i-k}}{(2i-2k+1)!}x^{2i-2k+1}\right)
\end{align}

Ve eğer düzenlersek:

\begin{align}
\sum_{i=0}^\infty \left(\sum_{k=0}^i  \dfrac{E_{2k}}{(2k)!(2(i-k)+1)!}\right)x^{2i+1}(-1)^i
\end{align}

\begin{align}
\sum_{0\leq k\leq 2i}^\infty  \dfrac{(x^{2i+1}(-1)^i)E_{2k}}{(2k)!(2(i-k)+1)!}
\end{align}

 

\begin{align}
\sum_{0\leq k\leq 2i}^\infty  {2i+1 \choose 2k}\dfrac{(x^{2i+1}(-1)^i)E_{2k}}{(2i+1)!}
\end{align}

 

Burada amacım Bernoulli sayılarını kullanmadan daha kolay bir şekilde tanjantı hesaplamaktı. Bunu daha önce bir yerde göremedim, eğer bilen herhangi biri varsa düzeltebilir. Teşekkür ederim.
Lisans Matematik kategorisinde (129 puan) tarafından  | 238 kez görüntülendi
20,193 soru
21,723 cevap
73,247 yorum
1,860,934 kullanıcı