Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
338 kez görüntülendi

Yani ayrılabilir uzay olma özelliği süreklilik altında korunur mu?

Not: $(X,\tau)$ topolojilk uzay olsun.

$$(X,\tau), \text{ ayrılabilir}:\Leftrightarrow (\exists A\subseteq X)(|A|\leq\aleph_0\wedge \overline{A}=X)$$

Lisans Matematik kategorisinde (11.4k puan) tarafından  | 338 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
$X:=\{a,b\}$ kümesi üzerinde $\tau_1:=2^{X}$ ve $\mathbb{R}$ kümesi üzerinde de $\tau_2:=2^{\mathbb{R}}$ topolojisini ele alalım.

$(X,\tau)$ topolojik uzayı ayrılabilir uzay ve $$f(x):=\left\{
        \begin{array}{ccc}
        \mathbb{I} & , & x=a \\
        \mathbb{Q} & , & x=b\\
        \end{array}
        \right. $$ kuralı ile verilen $$f:(X, \tau) \rightarrow (\mathbb{R}, 2^{\mathbb{R}})$$ fonksiyonu sürekli olmasına karşın $$(\mathbb{R}, 2^{\mathbb{R}})$$ topolojik uzayı ayrılabilir uzay değildir. Yani ayrılabilir uzay olma özelliği süreklilik altında korunan bir özellik değildir.
(56 puan) tarafından 
20,237 soru
21,758 cevap
73,397 yorum
2,050,899 kullanıcı