Teorem: A⊆R, f∈RA, a∈D(A∩(−∞,a))∩D(A∩(a,∞)) ve L∈R olmak üzere
limx→af(x)=L⇔limx→a−f(x)=limx→a+f(x)=L.
Bu teoremin kanıtı burada mevcut. A⊆R ve a∈A olmak üzere a gerçel sayısının A kümesinin yığılma noktası, soldan yığılma noktası ve sağdan yığılma noktası olması şöyle tanımlanır:
a,A'nın yığılma noktası:⇔(∀ϵ>0)((x−ϵ,x+ϵ)∩(A∖{x})≠∅),
D(A):={x|x,A'nın yığılma noktası},
a,A'nın soldan yığılma noktası:⇔a∈D(A∩(−∞,a)),
a,A'nın sağdan yığılma noktası:⇔a∈D(A∩(a,∞)).
Bu soruda f(x)=√x kuralı ile verilen f fonksiyonunun tanım kümesi A=[0,∞) kümesidir. Dolayısıyla 0∈D(A)=D([0,∞))=[0,∞) ve
0∈D(A∩(0,∞))=D([0,∞)∩(0,∞))=D((0,∞))=[0,∞) olduğundan 0, A kümesinin hem yığılma noktası hem de sağdan yığılma noktasıdır. Fakat 0∉D(A∩(−∞,0))=D((0,∞)∩(−∞,0))=D(∅)=∅ olduğundan 0, A kümesinin soldan yığılma noktası DEĞİLDİR. 0, A kümesinin soldan yığılma noktası olmadığı için soldan limitten BAHSEDEMEYİZ. Dolayısıyla limx→0√x=limx→0+√x olacaktır.
limx→0+√x=0 olduğunu göstermek de zor olmasa gerek. Onu sana bırakıyorum.