Question

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin(\tan x)-\tan(\sin x)}{\arcsin(\arctan x)-\arctan(\arcsin x)}=?$

Comments

türev alarakta işin içinden çıkamayız gibi duruyor

biraz ipucu

---

Sorunun yanıtını henüz ben de düşünmedim.

---

Yedi kere l'H alınca çıkar.
Bunun yerine seri açılımındaki bu katsayının altlı üstlü eşit olacağını gösterirsek de olur.

Genel olarak (seri açılımına sahip) tek f,g fonksiyonları için de genelleştirilebilir.
Hatta seri açılımında sabit terimi, ikinci ve dördüncü kuvvetin sıfır olması yeterli.

---

Bilgilendirmek için şunları paylaşayım: Bu soruyu The College Mathematic Journal dergisinin Vol 30, No:1, January 1999 sayısı sayfa 73'te görmüştüm. Soru V.K. Srinivasan'ın İnternational Journal of Mathematical Education in Science and Technology 28:2 (March-April 1997) 185-196 adlı dergideki Three Perspectives on the Limit of Function  makalesinde ele alınmış. Makaleye ulaşamadım ama özetinde sorunun üç yolla (L'Hopital, Taylor açılımı ve grafik yorumlama) çözülebileceği ve bu çözümlerin Mapple ile yapılabileceğinden bahsediyor. Bu limiti el ile çözmenin denenmemesi gerektiğini, sonucun 1 olduğunu göstermek için yedi kere L'Hopital uygulanması gerektiğinden bahsediyor.

---

baya zor bişey, 1-2 gündür uğraşıyorum, geometrik proof sayılıyorsa baya uğraştım yukarıdakilerin farkı aşağıdakilerin farkına eşit oluyor çünkü ters fonksiyonlar, $(sin(tan(x)))^{-1}=arcsin(arctan(x))$ oldugunu gordukten sonra kolay oluyor yukardakilerin $x=y$ 'ye gore sımetrıklerı(ters fonksıyon tanımından) dolayısıyla lımıt sanırım 1 ama pek bir anlamı yok sanırım bu proofun.