Doğan Dönmez Hoca'nın (son derece net) örneğinden farklı bir örnek vermek istiyorum.
$p$ bir asal olsun. (Sizin durumunuzda ayrıca $p>2$ olsun.) $p$ elemanlı $\mathbb{F}_p = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} =\{0, 1, \ldots, p-1\}$ cismini ele alalım ve $\prod_{i=0}^{p-1} (X-i)$ polinomuna bakalım. (Bu polinom aslında $X^p-X$ polinomuna eşittir.) Bu polinom indirgenemez değil, hatta tam aksine, çok indirgenir, tam $p$ tane kökü var, $\mathbb{F}_p$'nin her elemanı bunun bir kökü. Bu polinoma 1 ekleyelim. Böylece $$f(X) = \prod_{i=0}^{p-1} (X-i) + 1 = X^p - X + 1$$ polinomunu elde ederiz. Elbette $f(X)$ polinomunun $\mathbb{F}_p$ cisminde kökü yoktur, ne de olsa her $i=0,1,\ldots, p-1$ için $f(i) = 1$. Şimdi $f(X)$ polinomunun indirgenemez olduğunu öne sürüyorum. ($f$'nin derecesi $p$ (yani tek) olduğundan, bu, size yeni bir karşıörnek verecek.) Önce $$f(X) = f(X+1) = \ldots = f(X+p-1)$$ eşitliğine dikkat çekeyim. Demek ki eğer $\mathbb{F}_p$'nin bir genişlemesinde bu polinomun bir kökü varsa, diyelim $\alpha$, o zaman $\alpha, \alpha + 1, \ldots, \alpha + p -1$ de aynı polinomun kökleridir, yani bir genişleme bir kök içeriyorsa tüm kökleri içerir.
$g(X) \in \mathbb{F}_p[X]$ polinomu $f(X)$ polinomunun indirgenemez bir çarpanı olsun, derecesi de $d$ olsun. (Amacımız $d=p$ eşitliğini göstermek.) $d>1$ tabii ki, yoksa $f$'nin $\mathbb{F}$'de bir kökü olurdu. $g$'nin bir kökünün olduğu bir cisim genişlemesini alalım, mesela $g(\alpha)=0$ koşulunu sağlayan bir $\alpha$ kökü için, $$\mathbb{F}_p < \mathbb{F}_p[\alpha] \simeq \mathbb{F}_p[X]/\langle g(X) \rangle \simeq \mathbb{F}_{p^d}$$ cismini. Indirgenemez olduğundan, $g(X)$, $\alpha$'nın minimal polinomudur.
$\alpha$ bu cisimde olduğu için $\mathbb{F}$ cisminin tüm kökleri bu cisimdedir, yani $$f(X) = \prod_{i=0}^n (x- \alpha - i)$$ olur. Tabii ki (bir polinom tek bir biçimde indirgenemezlerine ayrıştığı için) $g(X)$ de bu $(x- \alpha - i)$'lerin bazılarının çarpanları olur.
Ayrıca $i\in \{0, 1, \ldots, p-1\}$ için $g(X-i)$ de indirgenemez polinomdur (çünkü eğer $a\neq 0$ ise bir polinomu $aX + b$'de değerlendirmek polinom halkasının bir otomorfisidir, dolayısıyla indirgenemezler bu dönüşüm altında indirgenemez kalırlar). Dolayısıyla $f$'nin tüm indirgenemezleri, ($\alpha + i$'nin minimal polinomu olan) $g(X-i)$ biçimindedir, ama tabii bu $g(X-i)$'lerin bazıları eşit olabilir. Demek ki $f(X)$ polinomu, bazı $i$'ler için $g(X-i)$ polinomlarının çarpımıdır. Diyelim $f(X)$ polinomu $k$ tane $g(X-i)$ türünden polinomun çarpımı. Ama $g(X-i)$'lerin dereceleri eşit olduğundan (hepsinin derecesi $d$), $p= \deg(f) = kd$ olur. Ama $p$ asal olduğundan, bundan, $d=p$ çıkar, yani $f(X) = g(X)$ olur ve dolayısıyla $f(X)$ indirgenemezdir.
Burada, $\prod_{i=0}^{p-1} (X-i) = X^p-X$ polinomuna 1 ekledik, ama $\mathbb{Z}_p \setminus \{0\}$ kümesinden herhangi bir eleman da ekleyebilirdik, sonuç değişmezdi, elde edilen polinom hâlâ indirgenemez olur. Daha genel olarak, $q$, $p$ asalının bir kuvveti ise, $q$ elemanlı $\mathbb{F}_q$ cismini ele alalım. $x \mapsto x^p - x$ kuralıyla verilmiş fonksiyon $\mathbb{F}_q$ toplamsal grubunun bir andomorfisidir, ama birebir değildir, çekirdeği tam olarak $\mathbb{F}_p$'dir. Demek ki bu andomorfi örten olamaz. $b \in \mathbb{F}_q$, imgede olmayan bir eleman olsun. O zaman $$f(X) = \prod_{i=0}^{p-1} (X-i) + b = X^p - X + b \in \mathbb{F}_q[X]$$ polinomu indirgenemezdir. Kanıt aynen yukarıdaki gibi. $\mathbb{F}_q < \mathbb{F}_q[X]/\langle f(X) \rangle \simeq \mathbb{F}_{q^p}$ cisim genişlemelerine Artin-Schreier cisim genişlemeleri denir. Kolayca görüleceği üzere, $\mathbb{F}_q$'nun derecesi $p^k$ olan her cisim genişlemesi $k$ tane ardışık Artin-Schreier cisim genişlemesidir.