Question

$ \lim _{x\rightarrow 0^{+}} $ $x^{a}\ln x $       $ \alpha >0 $

limitini hesaplayınız ?

$ 0. \infty $ belirsizliği var.

bunu şu şekilde düzenledim  $ \dfrac{\ln x}{x^{-a}} $

buradan  $ \dfrac{\infty }{\infty } $ belirsizliği elde ettim. sonrasını yapamadım ?

Comments

$x^a \int\limits_1^x \frac{1}{t}dt$ yapsak ?

---

$\displaystyle\small\frac{\infty}{\infty}$ durumunda L'Hospital uygulayabilirsin. Buradan da:

$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{x}}{-ax^{-a-1}}$ gelir buradan devam edebilir misin?

Answer 1

Bunun için birçok yöntem mümkün. Sonsuzdaki baskınlık fikirlerine de açık bir soru. 

Sonsuz baskınlığı:
$x=1/t$ olacak şekilde bir temel değişim uyguladığımızda ilgilenmemiz gereken limit $$\lim\limits_{t\to\infty}\frac{-\ln t}{t^a}$$ olur.

Kuvvet ve logaritma fonksiyonlarının ilişkisi:
Her $t\ge 1$ değeri için $$0\le \ln t\le t-1$$ eşitsizliği sağlanır.  Bunu $t^{a/2}$ için uygularsak $$0\le \frac a2\ln t=\ln \left(t^{a/2}\right)\le t^{a/2}-1\le t^{a/2}$$ yani $$0\le\ln t \le \frac2at^{a/2}$$ eşitsizliğini elde ederiz.

Sıkıştırma savı için eşitsizlik:
Bu bilgiler ile her $t\ge 1$ değeri için $$0\le \frac{\ln t}{t^a}\le \frac2at^{-a/2}$$ eşitsizliğini elde ederiz.

Sonuç:
Sonsuzda eşitsizliğin iki ucundaki limit değeri de sıfıra gittiğinden, sıkıştırma savı gereği, $$\lim\limits_{t\to\infty}\frac{\ln t}{t^a}=0$$ eşitliği sağlanır.

Comments

teşekkür ederim.

Answer 2

$x^a \ln x = \frac{\ln x}{x^{-a}}$ olarak yazarsak $\infty/\infty$ biçiminde bir belirsizlik buluruz. Buna L'Hôpital kuralını uygularsak sonuç 0 çıkar. Not: $x^a \ln x = \frac{x^{a}}{(\ln x)^{-1}}$ olarak yazarsak da $0/0$ biçiminde bir belirsizlik buluruz ama buna L'Hôpital kuralını uygularsak işler daha da karmaşıklaşıyor.

Comments

teşekkür ederim.