Question

$\lim _{x\rightarrow -\infty}\dfrac {3^{2x }+8^{x}+7^{x}} {{10^{x}-7^{x}}}$ limitini hesaplayalım.

@not:yoğun istek üzerine :P

Answer 1

Cevap olarak da yazayim, $$\lim _{x\rightarrow -\infty}\dfrac {3^{2x }+8^{x}+7^{x}} {{10^{x}-7^{x}}}=\lim _{x\rightarrow -\infty}\dfrac {(9/7)^{x}+(8/7)^{x}+1} {{(10/7)^{x}-1}}=\frac{0+0+1}{0-1}=-1$$ olur.

Not:
$|a|<1$ ise $\lim \limits_{x\rightarrow \infty}a^x=0$ olur.
$a>1$ ise $\lim \limits_{x\rightarrow -\infty}a^x=0$ olur. 

Comments

ne kadar matematiksel olacağımızı sanamı soracaz ?

---

Seninkisi yanlis. His olarak dogru olabilir belki ama yanlis. Yukaridaki yaniti bir sinav kagidina yazsan belki iyi hissinden minnak bir puan alabilirsin.

---

haklısınız, hertarafı en yavaş azalan terime bölüp göstermem gerekirdi ama yaptıgım his değil bir çıkarımdı.

---

Cikarimin kaynagi nedir?

Tanim: ....
Teorem: ...
Cikarim: ...

---

Çıkarımın kaynağı tam olarak yaptıgınız cevaptı.Bu sorular için sizin bu cevabınızı öğrendim ve  mantıgıma attım, altta verdiğim cevap oyuzden hıs gıbı gorundü ama bir çıkarım.

Not:
$a>b$ ve $\ell\in\mathbb R^+$ ise $a^\ell-b^\ell>0$

$\dfrac{a}{b}>1$ olur ve

$\lim\limits_{\ell \to \infty}[a^\ell-b^\ell]$   ıraksar mantıgından yola çıkarak çıkarımda bulundum.

---

Scoobidu gizemi de böylece kafamda çözüldü.Artış hızı farklı olan 2 fonksiyonun sonsuza giderkenki karakteristiğini anlamış oldum.

Answer 2

$\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{9^x+8^x+7^x}{10^x-7^x}$             $-\infty$'i       $\infty$ diye değişirsem

$\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\dfrac{1}{9^x}+\dfrac{1}{8^x}+\dfrac{1}{7^x}}{\dfrac{1}{10^x}-\dfrac{1}{7^x}}$   ifade böyle olur.


peki soruyorum ,${x\to\infty}$ giderken $\dfrac{1}{10^x}$ mi daha hızlı   $0$   a gider yoksa  $\dfrac{1}{7^x}$   mı?

tabikide $\dfrac{1}{10^x}$

o zaman

$\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\dfrac{1}{9^x}+\dfrac{1}{8^x}+\dfrac{1}{7^x}}{\dfrac{1}{10^x}-\dfrac{1}{7^x}}$   bu ifade de en büyük terimler hangileridir?  $\dfrac{1}{7^x}$ ler değil mi? o zaman obur terımlerın bir önemi yok, o zaman ifade

$\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\dfrac{1}{7^x}}{-\dfrac{1}{7^x}}$ den başka bir şey değildir ve cevap "-1" olmalı.

Comments

eyvallah ))        

---

rica ederim .                         

---

tşk                             

---

matematiksel olarak bunu nasil yazariz peki?

---

ben şimdi şöyle bi özet çıkardım,tabanları farklı üstleri aynı olanlarda +sonsuzda iken tabanı büyük olanı,-sonsuzda tabanı küçük olan dışındakileri atıyoruzı.

taban ,üst felan hep farklı olanlarda,en büyük katsayılı olan  hep yalnız bırakıyoruz ?.

yanlış varsa düzeltelim,bilmeyenleri öğretelim !1!

-kamu spotu

---

@Sercan, hep merak etmişimdir sonsuza giden bu tür oranlamalarda nasıl emin olabiliyoruz ve diğer hızı az olanları eleyebiliyoruz diye, biraz ipucu verin ispatlayalım beraberce.

---

1) $a > 1$ ise $\lim\limits_{x\to -\infty} a^x=0$ olur.
2) $7^x$ sadelestirilimesi yapilirsa tum $(10/7),(9/7),(8/7)>1$ oldugundan limitleri sifira goder ve $1/-1=-1$ elde ederiz.