$\mathbb Q$ ve $\mathbb R$ kümelerinin yoğunlukları kıyaslanabilir mi?

Question

$\mathbb Q$ kümesi $\mathbb R$ kümesinin bir alt kümesi olduğu için belli bir aralıkta $\mathbb R$ sayıların daha fazla yoğun olduğunu söyleyebilir miyiz? Örneğin

$f:\mathbb R \to \mathbb R$ bir fonksiyon olsun.

$f(x)=\begin{cases} 1 & x\notin \mathbb Q \\ 0 & x\in \mathbb Q \end{cases}$

Fonksiyonunun grafiği çizildiğinde $y=0$ ve $y=1$ doğrularında bir birikme olacak. Fonksiyonun $\sqrt 2$'ye giderken limitini alırsak "Bu fonksiyon $\sqrt 2$ noktasında $\mathbb R$'de daha yoğundur dolayısıyla limit 1'e gider." diyebilir miyiz?

Comments

"belli bir aralıkta $\mathbb{R}$ sayıların daha fazla yoğun"

"Bu fonksiyon $\sqrt2$ noktasında $\mathbb{R}$ daha yoğundur dolayısıyla limit 1'e gider."  

"Daha yoğun" ne demek? "Fonksiyon .. noktasında yoğun" ne demek?

$\mathbb{Q},\ \mathbb{R}$ de yoğundur.

---

Hocam $\mathbb R$ kümesi $\mathbb Q$ kümesini kapsayan bir küme olduğu için belirli aralıklarda $\mathbb R$'nin bulunma miktarı (yada yoğunluğu) $\mathbb Q$'ya göre daha fazladır veya bir $x\in \mathbb R$ için $(x-\varepsilon,x+\varepsilon)$ aralığında $\mathbb R$'nin bulunma miktarı daha fazla olduğu için o noktada $\mathbb R$daha yoğundur şeklinde tanım yaparsak (bir nevi fiziksel anlamda yoğunluk) soruda verilen fonksiyonda $\lim\limits_{x\to\sqrt{2}} f(x)$ limitinin sonucunu $\sqrt 2$'de $\mathbb R$ daha yoğun olduğu için limit işleminin sonucu 1 olur denilebilir mi?

---

"Yoğun" terimi İKİ argüment gerektirir. Aslında "A, B de yoğundur" dememiz gerekir, ama çoğumuz, genellikle , bunu (B in anlaşılacağını varsayıp) "A yoğundur" diye kısaltırız.

Bunu unutursak saçma durumlar ortaya çıkar.

"$\mathbb{Q}$  yoğundur" dememek (veya diyorsak neyi kastedildiğini iyi anlamak) gerekir. Örneğin:

$\mathbb{Q},\ \mathbb{R}$ de yoğundur ama

$\mathbb{Q},\ \mathbb{C}$ de yoğun değildir.

 

"√2'de $\mathbb{R}$ daha yoğun olduğu için"  Bu, iki nedenle, hiç anlamlı gelmiyor bana.

"Daha yoğun" tanımı ne? EK: yoğunluğun (Kimyadaki gibi) bir ölçütü yok.

Üstelik:

$\sqrt2$ bir sayıdır, $\mathbb{R}$ nin alt kümesi değil, "yoğun" olmanın ön koşulu, alt küme olmaktır.

Eğer "{$\sqrt2$} $\mathbb{R}$ daha yoğun" kast ediyorsan, bu da yanlış. (0,1) aralığında bu kümenin elemanı var mı?