Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
159 kez görüntülendi
Teorem, özetle, regüler düzlemsel bir eğrimiz var ise bu eğriyi kesen doğruların kesme sayılarına bağlı ve bu düzlemdeki doğrular üzerine tanımlanan bir ölçümden dolayı, eğrinin uzunluğunun sadece eğriyi kesen doğruların kesme sayısına bağlıdır diyor.

Yani $$\iint_\limits{\mathcal G\subset\mathcal L} d\rho d\theta=2\mathcal l$$

 

Burada $\mathcal l$ eğri uzunluğu, $\mathcal L=\{(\rho,\theta)\in \mathbb R^2 ; (\rho,\theta)\sim (\rho,\theta+2\pi k) \; ve\; (\rho,\theta)\sim (-\rho,\theta\pm \pi)\}$- identifikasyonu ile düzlemdeki tüm eğrilerin kümesi olsun öyle ki $(cos\theta,sin\theta)$ için düzlemdeki herhangi bir doğru $\rho=xcos\theta+ysin\theta$ olarak verilsin

Daha düzenli okumak istiyenler için Do Carmo'nun  Differential Geometry- Curves and surfaces kitabının 1-7 bölümü " Global properties of plane curves" kısmı sayfa 42 ye bakabilir.

Muhtemelen bu formulasyona alışkın olanlar yazacaktır olmayanlar için ise kitaptaki bölümleri öneririm .

Sorum:

46. sayfada ispatı tamamlarken $l$ uzunlugundaki bir dogru parçasınını kesen herhangi bir doğru için integral hesabı yapılıyor. Ancak formulasyon gereği bu integraldeki ölçümün sadece doğru ile (yani doğru parçasıyla alakası olmadan) hesaplanması gerekmiyor mu? oradaki iki katlı integralde integrasyonumuzu tam olarak hangi alanda yapıyoruz verilen herhangi bir eğri için bu integrale nası bağlıyoruz, ispatta tam anlamadıgım nokta bu?

Ekleme: Tam anlaşılmayan nokta, dogruların parametrik tanımlandıktan sonra, alınan integralin uygulanacak eğriyle alakası idi, Çünki daha sonra kitapta verilen aplikasyon bu yönde kafamı karıştırmıştı.
Lisans Matematik kategorisinde (7.8k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 159 kez görüntülendi
Şekil 1-31 de herhangi bir doğrunun $x\circ y$ düzleminde nasıl parametrize edilebileceğini gösteriyor ve bunu $p, \theta$ ikilisi olarak belirliyor. Yani, $x\circ y$ düzlemindeki doğrularla $p\circ \theta$ düzlemindeki noktalar arasında ilişki kuruyor. Sonra da doğruların sayısını yeni düzlemdeki noktaların sayısı, ya da kitapta da belirttiği gibi, $p\circ \theta$ düzlemindeki belli bir bölgenin alanı olarak tanımlıyor.

Burada tabii ki $C$ eğrisi mühim. Örneğin, ispatın $l$ uzunluklu doğru parçası için olan kısmında $p$ üzerinden integralin sınırı, $C$ eğrisiyle doğrudan ilişkili.

İspatını, "herhangi bir eğri"ye poligonlarla yaklaşarak (ve tabii ki $n(p,\theta)$ katlılığını da hesaba katarak) tamamlıyor.

Not: Uygulama olarak DNA sarmalının uzunluğunu kestirme örneği etkileyici gerçekten.

Sadece eğriyi kesen doğruların p ve $\theta$ değerlerinden oluşan bölge üzerinde integral alınıyor(eğriyi kaç kez kestiği de gözönüne alınarak)

Yorumlarınız için çok teşekkür ederim, olası olan tüm dogruların kümesi olayını oturtamamıştım ama $(p,\theta)$'nın tanımlama amacıyla birleşince tam olarak oturdu. Kafamı karıştıran ise kitapta olan Yasin Şale'nin de bahsettiği Dna uygulamasıydı, oradaki integralin yaklaşımını daha ortada bir eğri yokken belirlenmesi, beni yanlış yonlendırdı (normal hesapta da egrı olmadan sadece olası lineleri mi hesaplıyoruz nasıl yapıyoruz diye karıştırdım.)
19,345 soru
21,132 cevap
70,605 yorum
24,386 kullanıcı