Teorem, özetle, regüler düzlemsel bir eğrimiz var ise bu eğriyi kesen doğruların kesme sayılarına bağlı ve bu düzlemdeki doğrular üzerine tanımlanan bir ölçümden dolayı, eğrinin uzunluğunun sadece eğriyi kesen doğruların kesme sayısına bağlıdır diyor.
Yani $$\iint_\limits{\mathcal G\subset\mathcal L} d\rho d\theta=2\mathcal l$$
Burada $\mathcal l$ eğri uzunluğu, $\mathcal L=\{(\rho,\theta)\in \mathbb R^2 ; (\rho,\theta)\sim (\rho,\theta+2\pi k) \; ve\; (\rho,\theta)\sim (-\rho,\theta\pm \pi)\}$- identifikasyonu ile düzlemdeki tüm eğrilerin kümesi olsun öyle ki $(cos\theta,sin\theta)$ için düzlemdeki herhangi bir doğru $\rho=xcos\theta+ysin\theta$ olarak verilsin
Daha düzenli okumak istiyenler için Do Carmo'nun Differential Geometry- Curves and surfaces kitabının 1-7 bölümü " Global properties of plane curves" kısmı sayfa 42 ye bakabilir.
Muhtemelen bu formulasyona alışkın olanlar yazacaktır olmayanlar için ise kitaptaki bölümleri öneririm .
Sorum:
46. sayfada ispatı tamamlarken $l$ uzunlugundaki bir dogru parçasınını kesen herhangi bir doğru için integral hesabı yapılıyor. Ancak formulasyon gereği bu integraldeki ölçümün sadece doğru ile (yani doğru parçasıyla alakası olmadan) hesaplanması gerekmiyor mu? oradaki iki katlı integralde integrasyonumuzu tam olarak hangi alanda yapıyoruz verilen herhangi bir eğri için bu integrale nası bağlıyoruz, ispatta tam anlamadıgım nokta bu?
Ekleme: Tam anlaşılmayan nokta, dogruların parametrik tanımlandıktan sonra, alınan integralin uygulanacak eğriyle alakası idi, Çünki daha sonra kitapta verilen aplikasyon bu yönde kafamı karıştırmıştı.