Yürüyen Merdiven Sorusu

Question

Sabit hızla daima yukarıya doğru hareket eden 30 basamaklı bir yürüyen merdiven vardır. Kemal bu merdivenden önce yukarıya çıkıp sonra aşağı indiğinde 80 adım atmıştır. Kemal'in hızının merdivenin hızına oranı kaçtır ?

Hocalarım çözümlü soru ve çözümü aşağıdaki gibidir.

Vk/Vm=x/30-x

Vk/Vm=80-x/30

Hocalarım daha sonra bunlaro eşitleyip x i buluyor. Benim anlayamadığım şey Kemal aşağı indiğinde merdiven neden 30 basamak çıktı. Kemal 80-x adım da aşağı iniyorsa merdiven 50-x adım yukarı çıkmıştır diye düşünüyorum. Hocalarım nerede yanlış düşünüyorum. Neden 50-x yazmadıkta 30 yazdık o kısmı anlayamadım. Rica etsem anlatabilir misiniz ? Şimdiden çok teşekkür ederim.

Comments

Çocuk çık/in sonunda toplam 80 adım atmış. Hoca, bunun $x$ kadarını çıkarken attığını varsaymış, dolayısıyla, inerken de $80-x$ adım atmıştır.

Peki hoca yukarıdaki ifadeyi nasıl yazdığını anlattı mı?

---

Hocam youtubede bir kanaldaki hoca çözümü yaptı. Pek anlayamadım. Neden 30 yazdığını anlayamadım. Hocam şöyle bir ifade "Kemal aşağı inince merdiven 30 basamak yukarıya çıkıyor." kullanıyor. Neden böyle olduğunu anlayamadım hocam.

---

Hocam hızları oranı sabit olduğu için yukarıdaki ifadeyi kullanmış. Hocam birkaç soru daha çözdü. Onlarda hızlardan gitmişti. Süreler direk sadeleştiği için attıkları adımları oranı hızları oranını verdiği için böyle bir çözüm kullanmış. Ama ben 30 yazan kısmı anlayamadım.

Answer 1

Haklısın paydaya 30 yazması anlamsız olmuş. Bu tip problemleri temel fiziksel fikirlerden yola çıkarak çözmek lazım. En azından bu şekilde anlatanlardan dinlemek lazım...

İsterseniz bir bakalım. Kemal'in hızı ve merdivenin hızı $v_k,v_m$ olsun. Merdivenin uzunluğu $L$, Kemal'in attığı toplam adım sayısı $D$ olsun. Kemal yukarı çıkarken $L/(v_k+v_m)$, aşağı inerken $L/(v_k-v_m)$ kadar zaman harcamıştır. Toplamda geçen süre:
$$T=\frac{L}{v_k+v_m}+\frac{L}{v_k-v_m}$$ kadardır. Diğer taraftan, Kemal'in toplamda $D$ adımı $v_k$ hızıyla aldığını biliyoruz. Yani, $D$ sayısı, Kemal'i baz alarak biliniyor. Kemal toplamda kaç adım attı: $D$. Peki bu kadar adımı atarken hızı neydi: saniyede $v_k$ adım. Dolayısıyla $D/v_k$ sayısı, $T$ ye eşit olmalı:
$$\frac{L}{v_k+v_m}+\frac{L}{v_k-v_m}=\frac{D}{v_k}$$ Bu ifadeyi şöyle anlayabilirsiniz: Eşitliğin sol tarafı yerdeki gözlemcinin gördüğünü sağdakiylse Kemal'in ölçümünü gösteriyor. Şimdi bunu düzenleyelim:
$$\frac{2v_k}{v_k^2-v_m^2}=\frac{D}{Lv_k}\Rightarrow \frac{v_k^2}{v_k^2-v_m^2}=\frac{D}{2L}\Rightarrow \frac{v_k^2-v_m^2}{v_k^2}=\frac{2L}{D}$$ ve buradan, $$1-\left(\frac{v_m}{v_k}\right)^2=\frac{2L}{D}\Rightarrow \frac{v_k}{v_m}=\left(1-\frac{2L}{D}\right)^{-1/2}$$ bulunur. Sayısal değerleri yerine koyarsanız,
$$\frac{v_k}{v_m}=\left(1-\frac{2L}{D}\right)^{-1/2}=\left(1-\frac{2\times 30}{80}\right)^{-1/2}=2$$ bulursunuz.