Çarpanlara ayırma ile ilgili soru

Question

$4x^2-25$ bu ifadeyi çarpanlara ayirirken

Burda iki kare farkı olması için 4 unde kare olarak yazılması icin $2^2.x^2$ olarak yazıp $2x^2$ olarak mi oluyor mantığını anlatırsanız sevinirim hocalarim

 

Birde mesela $4x^2-9=0$ gibi bir denklemde çarpanlara ayirinca 2x e 2x oluyor yani şöyle

$(2x-3).(2x+3)$ cidden $2x$ ile $2x$ carpilinca $4x^2$ i veriyor fakat biraz önce yukarıda $4x^2$ de carpanina ayırmak icin $4$ üde $2^2$ olarak yazmaya çalıştık fakat $4x^2$ nin yerine $5x^2$ i gibi bişey olsaydı $4$ u $2^2$ yazabiliyorken $5$ i neyin üssü olarak yazacaz yukarıda $4x^2$ yı $(2x)^2$ olarak yazıyoruz çarpanlara ayirinca da $(2x).(2x)$ olarak yazılıyor geri ilk haline geliyor fakat

$5x^2$ de nasıl ayrilacak bunu $(5x).(x)$ olarak yazilabiliyor sanırım fakat yukarida $4x^2$ yi $(4x).(x)$ olarak neden yazamadik

Yani $4x^2$ de $4$ ude kareye çevirip $2^2.x^2$ den $(2x)^2$ olarak yazmak zorundayizda $5x^2$ yi neden $(5x).(x)$ olarak yazıyoruz bana bı yardım edin hocalarim.

Comments

Sondan bir önceki paragrafta "yazabilmek/yazamamak" şeklindeki ifadeniz bir karışıklığı gösteriyor. Tabi ki ikisini de yazabilirsiniz fakat bu yazım şekli işinize yarar mı? Yani, iki kare farkı açılımını uygulamanıza yardımcı olur mu? Mesele bu. İki kare farkı ifadesinde iki terim de tam kare şeklinde yazılmalı ki özdeşliğin diğer tarafında doğrudan kullanılabilsinler.

Sorunuzun diğer kısmı için: $5x^2=(\sqrt{5}x)^2$ yazamaz mıyız?

---

@Yasin Şale hocam cevap verdiğiniz öncelikle teşekkür ederim

Peki hocam $5x^2+10x+25$ gibi bir denklemde çarpanlara ayirirken yukarıdaki gibi neden ayrılmıyor 5x e x diye ayrılıyor ama sizin verdiginiz örnekte $\sqrt{5}$ diye ayrılıyor yani 2 kare farkı olunca sizin dediginiz gibi oluyorda denklem olunca neden $5x$ e $x$ diye ayrılıyor hocam

---

Bildiğin gibi mesele, çarpımı, verilen polinomu veren iki polinom bulmak. Eğer verilen sistem $x^2-a^2$ gibi iki kare farkı şeklindeyse, o zaman, $(x-a)(x+a)$ şeklinde yazıyoruz. Eğer lineer terim yani $x$ in birinci derecede olduğu terim varsa, $$ax^2+bx+c$$ bunu $\alpha x+\beta$ ve $\gamma x+\delta$ şeklinde iki ifadenin çarpımı şeklinde yazılabiliyorsa,

$$ax^2+bx+c=(\alpha x+\beta)(\gamma x+\delta)=\alpha\gamma x^2+(\alpha\delta+\gamma\beta)x+\beta\delta$$ bu ifadenin iki tarafında aynı dereceli terimlerin katsayısı eşit olmalı:

$$a=\alpha\gamma$$

$$b=\alpha\delta+\gamma\beta$$

$$c=\beta\delta$$

İşin özü bu. Mesele, verilen $a,b,c$ katsayılarına uygun $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ katsayılarını bulmak.