Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
918 kez görüntülendi
Elimizde simetrik konveks bir polihedra olsun. Uzerinde $p_1$ adli bir nokta secelim. Soyle bir iddiam var ama nasil ispatlarim bilmiyorum.

$p1$ e polihedranin yuzeyi uzerindeki en uzak nokta $p_1$ in antipodudur. Uzakliga bakarken sadece polihedranin yuzeyinde hareket edebilecegimizi dusunmemiz lazim geliyor.

(aslinda polihedra yerine baska cisimler de dusunebiliriz kure gibi mesela)

Edit: Simetrik sartini unutmustum
Lisans Matematik kategorisinde (1.6k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 918 kez görüntülendi
Nasıl bir simetriden bahsediyoruz?
polihedranin merkezine gore noktasal simetri
Bir kare ve kenarında, köşe olmayan bi nokta alalım. Antipodal nokta en uzak nokta değil.

 

$BCDE$ karesinde $F$ noktasina en uzak nokta $F^{\prime}$ degil mi ?

D daha uzak.
sadece karenin kenarlarinda hareket edince $F$ den $D$ ye gitmek icin $FC$ ve $CD$ yolunu kullanmam gerekiyor. $F$ den $F^{\prime}$ a gitmek icin ise $FC$ , $CD$ ve $DF^{\prime}$ yolunu kullanmam gerek. Bu durumda $F^{\prime}$ faha uzak degil mi ?
O zaman tamam.

Ben "yüzey üzerinde hareket etmek" şeklinde düşünmedim.

İlginç bir soru. İspatı basit olmayabilir.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

3- boyutlu uzayda $S=\{(x,y,z):x^2+y^2+{z^2\over 9}=1\}$ dönel elipsoid yüzeyini düşünelim.

Orijine göre simetrikdir.

$(1,0,0)$ noktasının antipodali $(-1,0,0)$ olup, (yüzey üzerinden) aradaki uzaklık $\pi$ dir.

(Bunu, Diferansiyel Geometri ile gösterebiliriz: $x^2+y^2=1,\ z=0$ çemberi yüzey üzerindedir ve parametrize edildiğinde normali yüzey dik olduğundan "jeodezik"dir.)

Oysa $(0,0,3)$ noktasının $(1,0,0)$ noktasına yüzey üzerinden uzaklığı (uzaydaki uzaklık olan) $\sqrt{10}$ dan büyüktür ve $\sqrt{10}>\pi$ dir.

(Düzlem eğrileri için doğru olabilir mi?)

(6.2k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
Polihedra olmadi gicir yuzey oldu ama elipsoidi yontarsak herhalde bir polihedra icin de gecerli olur bu karsi ornek.

Dediğin doğru. Her pürüzsüz yüzeye, istendiği kadar "yakın" polihedron oluşturabiliriz.

Aşağıdaki polihedron o yüzeye "yakın"

Resmi gorunce aklima bir soru daha geldi. Simetrik konveks bir polihedra uzerindeki ekstrem noktaya en uzak nokta gene bir ektrem nokta midir?

Edit: galiba bu da dogru degil
20,240 soru
21,759 cevap
73,407 yorum
2,077,716 kullanıcı