$1^3+2^3+3^3+...+n^3 $ için ılgınç bir ispat daha.
Idda : $1^3+2^3+3^3+...+n^3 =(1+2+3+...+n)^2 $ .
Bunu kanıtı orta okul gördüğümüz geometri ve cebırsel ifadeleri özelıkleri kulanarak çok değışık şeklinde ispatlamaya çalışırız.
Şekıl1(K)
Bu karenın yanı $K$ nin alanı hesaplayalım . Bunun için iki yolumuz var.
1. yol : $K$ nin bir kenarı $1 +2 +3 +... + n $ olduğunu görmek çok kolay dolaysıyla
$Alan(K)= (1 + 2 + 3 +...+ n)^2$ olur $...(1)$
2. yol : $K$ alanı $G_j$ şekilerin Alanları toplamasina eşıt olur ; yani $Alan(K) = G_1 + G_2 +...+ G_n $ dır..
Dıkkatlı şeklinde bakarsak $Gj$ alanları aşağıdakı şeklinde hesapşanabilir :
$G_1 = 1^2 - 0^2 = 1$
$G_2 = (1 + 2 )^2 - 1^2$
$G_3 = (1 + 2 + 3)^2 - (1 + 2 )^2$
$...$
Böylece keyfi bir $j\leq n$ için :
$G_j = (1 + 2 + 3 +... + j )^2 - (1 + 2 + 3 +... + (j-1) )^2$ olur.
Öte yanda ; $1 + 2 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2} $ Yani:
$G_j = (\frac{j(j+1)}{2})^2 -(\frac{j(j-1}{2})^2$ . Daha sonra $(a-b)(a+b) = a^2-b^2 $ özeliği kulanarak :
$G_j = (\frac{j(j+1)}{2} - \frac{j(j-1}{2}) (\frac{j(j+1)}{2} + \frac{j(j-1}{2}) = ... =j^3$ olur.
Böylece ;
$Alan(K) = G_1 + G_2 +...+ G_n = 1 + 2^3 + 3^3 +...+ n^3$ olur. $... (2) $
$(1) ve (2) $ den $ 1^3+2^3+3^3+...+n^3 =(1+2+3+...+n)^2 $ dır. $\lceil \$ \rceil$
"Bu soruyu lisedeyken; bizim matematik hocamıza sormuştum ve böyle şeklinde ispatamişti (Büyük ihtimali o da başka bir yere gördü yani ona ayıt değil ama önemlı değil) . Çok dağışık ve ilgınç geldı bana ve Üniversitede illa matematık okuyacağım dememı sebeplerınden biri oldu"