Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
181 kez görüntülendi
1^2+2^2+...+n^2 = n(n+1)(2n+1)/6 ve 1^3+2^3+...+n^3 = [n.(n+1)/2]^2

Hocalarım bu toplamların ispatı varsa paylaşabilir misiniz ?
Orta Öğretim Matematik kategorisinde (120 puan) tarafından  | 181 kez görüntülendi
Aşağıdaki linkte yer alan bilgiler size yeter ve artar.

https://matkafasi.com/3045/sum-k-1-n-k-5-toplaminin-sade-hali-nedir
Her ikisini de tümevarım yolu ile ispatlayabilirsiniz.
Hocalarım lise düzeyinde ispatları yok mudur ?
Linkteki kanıtlar, lise düzeyinde kanıtlar.

1 cevap

3 beğenilme 0 beğenilmeme

$1^3+2^3+3^3+...+n^3 $ için ılgınç bir ispat daha.

Idda :  $1^3+2^3+3^3+...+n^3 =(1+2+3+...+n)^2 $ .

Bunu kanıtı  orta okul gördüğümüz geometri ve cebırsel ifadeleri özelıkleri kulanarak çok değışık şeklinde ispatlamaya çalışırız. 

Şekıl1(K)

Bu karenın yanı $K$ nin alanı hesaplayalım . Bunun için iki yolumuz var.

1. yol : $K$ nin bir kenarı $1 +2 +3 +... + n $ olduğunu görmek çok kolay dolaysıyla

$Alan(K)= (1 + 2 + 3 +...+ n)^2$ olur $...(1)$

 

2. yol : $K$ alanı $G_j$ şekilerin Alanları toplamasina eşıt olur ; yani $Alan(K) = G_1 + G_2 +...+ G_n $ dır..

Dıkkatlı şeklinde bakarsak $Gj$ alanları aşağıdakı şeklinde hesapşanabilir :

$G_1 = 1^2 - 0^2 = 1$

$G_2 = (1 + 2 )^2 - 1^2$

$G_3 = (1 + 2 + 3)^2 - (1 + 2 )^2$

$...$

Böylece keyfi bir $j\leq n$ için :

$G_j = (1 + 2 + 3 +... + j )^2 - (1 + 2 + 3 +... + (j-1) )^2$ olur.

Öte yanda ; $1 + 2 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2} $ Yani:

$G_j = (\frac{j(j+1)}{2})^2 -(\frac{j(j-1}{2})^2$ .    Daha sonra $(a-b)(a+b) = a^2-b^2 $ özeliği kulanarak :

$G_j = (\frac{j(j+1)}{2} - \frac{j(j-1}{2}) (\frac{j(j+1)}{2} + \frac{j(j-1}{2}) = ... =j^3$ olur.

Böylece ;

$Alan(K) = G_1 + G_2 +...+ G_n = 1 + 2^3 + 3^3 +...+ n^3$ olur. $... (2) $

$(1) ve (2) $ den $ 1^3+2^3+3^3+...+n^3 =(1+2+3+...+n)^2 $ dır.                     $\lceil \$ \rceil$

 

"Bu soruyu lisedeyken; bizim matematik hocamıza sormuştum ve böyle şeklinde ispatamişti (Büyük ihtimali o da başka bir yere gördü yani ona ayıt değil ama önemlı değil) . Çok dağışık ve ilgınç geldı bana ve Üniversitede illa matematık okuyacağım dememı sebeplerınden biri oldu"

önce (138 puan) tarafından 
önce tarafından düzenlendi
Geometrik güzel bir ispat.

Şuradaki kitapta (İngilizce) çok güzel böyle ispatlar var.

O kitabın 67. sayfadan sonrasında bu gibi formüllerin elde edilişi var.

Tamam Hocam çok teşekkür ederiz :)
O kitapta 86. sayfadaki bu formülün ispatını (aynı formülün başka ispatları da var) çok beğendim.
çok güzel canlandırıcı.
19,308 soru
21,117 cevap
70,472 yorum
24,003 kullanıcı