Question

Eski zamanlarda bir yumurta tüccarı varmış. Yumurta toptancısına gidip bir miktar yumurta almak istemiş.

Toptancı ona ne kadar yumurta istediğini sormuş. O da cevaplamış:

Hmm ne kadar yumurta istediğimi tam olarak bilmiyorum ama 100den fazla olacağı kesin.  Yumurtalarımı ikişer ikişer satarsam bana bir yumurta kalsın Yumurtalarımı üçer üçer satarsam gene bana bir yumurta kalsın. Yumurtalarımı dörder dörder satınca da bana bir yumurta kalsın. Beşer beşer altışar altışar yedişer yedişer sekizer sekizer dokuzar dokuzar onar onar satsam da hep bana bir yumurta kalsın  Ama demiş onbirer onbirer satarsam bana yumurta kalmasına gerek yok! Toptancı başlamış düşünmeye. Sizce yumurtacı toptancıdan en az kaç yumurta almak istemiş?

2 er 2 er den ardışık sayıların genel kuralı olarak dusundum ardışık çift sayıların genel kuralı 2n fakat tek sayıların genel kuralı $n^2$ olarak dusundum bı yere varamadim

Comments

Captan, bu soru ardışık sayılarla ilgili değil, bölüm ve kalanlarla ilgili.

Şöyle düşünebilirsin:

Bir yumurta eksik olsaydı (o zaman)  yumurta sayısı için ne söylebilirdik?

---

hocam $x-1$ derdim

---

hocam en az $100$ yumurta alacakmış yani $3$ basamaklı

$xyz+1$ desek $100x+10y+z+1=0$ desek

11 li satarsa hiç artmasına gerek yokmuş

$xyz+0$ $100x+10y+z+0=0$ desek olurmu böyle

Answer 1

Yumurta sayısına $x$ diyelim. $x>100$ olduğu belrtilmiş.

İkişer ikişer satıldığında 1 yumurta kalması,

 $x\equiv1\mod2$ olması demektir.

Üçer üçer satıldığında 1 yumurta kalması,

 $x\equiv1\mod3$ olması demektir.

Benzer şekilde

$x\equiv1\mod4$, $x\equiv1\mod5$,....., $x\equiv1\mod10$

Ayrıca 11 er 11 er satıldığında hiç yumurta kalmaması, $11\mid x$ olması demektir.

Bunlara göre    $x-1\equiv0\mod2$, $x-1\equiv0\mod3$,  .... $x-1\equiv0\mod10$ olmalıdr.

(Ayrıca $11\mid x$ de olmalıdır)

$2\mid x-1$,  $3\mid x-1$, $4\mid x-1$....,$10\mid x-1$ olmalıdır.

Bu da, $\text{ekok}(2,3,4,\ldots,10)\mid x-1$ olmasına eşdeğerdir.

$\text{ekok}(2,3,4,\ldots,10)=8\cdot9\cdot5\cdot7=2520$ dir.

Öyleyse, bir $n\in\mathbb{N}$ için, $x=2520n+1$  şeklinde olmalıdır.

(11 e bölünebileceğini hesaba katmadan) Öyleyse $x=2521,5041,7561,\ldots$ sayılarından biri olmalıdır.

Bunlar arasında 11 e bölünen en küçük sayı $x=10\cdot2520+1=25201$ oluyor (sayı zaten 100 den büyük).

Düzeltme: ekok yerine ebob yazmıştım. Onları düzelttim.