Benzerlik alan ilişkisi

Question

Böyle bir üçgende alanlarin eşitliğinden FD//AC DE//AB ,EF//CB  paralellikleri nasıl gösterilir?Orta üçgeni asıl üçgeni 4 eş üçgene ayırır ancak tersi verildiğinde DEF üçgeninin orta üçgen olduğu sonucuna nasıl ulaşılır?

Answer 1

Güzel bir soru.

$\dfrac{|BD|}{|BC|}=\lambda,\ \dfrac{|AF|}{|AB|}=\mu,\  \dfrac{|CE|}{|CA|}=\delta$ diyelim.

$0<\lambda,\mu,\delta<1$ dir ve alan oranlarından,

$\dfrac{\text{Alan}(BFD)}{\text{Alan}(ABC)}=\lambda(1-\mu)$ den, $\lambda(1-\mu)=\dfrac14$  olur.

Benzer şekilde,

$\mu(1-\delta)=\delta(1-\lambda)=\dfrac14$ olur.

Bunlar taraf tarafa çarpılıp düzenlenirse:

$\lambda(1-\lambda)\mu(1-\mu)\delta(1-\delta)=\dfrac1{64}$ elde edilir.

Diğer taraftan Aritmetik Ortalama-Geometrik Ortalama eşitsizliğinden (veya ikinci derece polinomların özellikleri kullanılarak):

$\lambda(1-\lambda)\leq\frac14$ ve eşitlik sadece  $\lambda=\frac12$ iken sağlanır. Aynı nedenle

$\mu(1-\mu)\leq\frac14$ ve eşitlik sadece  $\mu=\frac12$ iken sağlanır ve 

$\delta(1-\delta)\leq\frac14$ ve eşitlik sadece  $\delta=\frac12$ iken sağlanır.

Bu nedenle, $\lambda(1-\lambda)\mu(1-\mu)\delta(1-\delta)=\dfrac1{64}$ oluşundan,

$\lambda(1-\lambda)=\frac14,\quad \mu(1-\mu)=\frac14$ ve $\delta(1-\delta)=\frac14$ olmak zorundadır.

Bu nedenle,

$\lambda=\mu=\delta=\frac12$ olmak zorundadır.

Bu da, $D,E,F$ nin $ABC$ üçgeninin kenarlarının orta noktaları olmaları demektir.

(Edit: Biraz daha açıklama ekledim)

 

Comments

Çok güzel bir çözüm. Ellerinize, bilginize ve zihninize sağlık hocam.

---

Teşekkürler hocam.