1955-56 yılında İTÜ giriş sınavında sorulan bir soru

Question

$y=\frac{2x^2+ax+b}{x-2}$  fonksiyonu veriliyor.  $a$ ve $b$  yi o suretle tayin ediniz ki payın paydaya bölümü $2$ kalanını versin ve  fonksiyon $x=3$  için bir maksimuma haiz olsun. $a$ ve $b$  için bulunan değerleri yerlerine koyunuz  ve grafiği çiziniz. Eğrinin $y=mx$ doğrusuna paralel teğetlerinin sayısını ($m$ nin muhtelif değerleri için) irdeleyiniz.

Comments

$y=2x+a+4+\frac{2a+b+8}{x-2}$  olarak düşündüğümüzde $2a+b+8=2\rightarrow 2a+b+6=0$ bulunuyor. $a, b$ arasında başka bir ilişkiyi de fonksiyonun $x=3$ de maksimuma sahip olmasından bulmaya çalıştım.

$y'=\frac{2x^2-8x-2a-b}{(x-2)^2}$  den $y'(3)=0\Rightarrow 2a+b+6=0$ aynı denklemi buluyorum. $a$  ve $b$ yi nasıl bulabilirim acaba?  Ya bir şeyi atlıyorum ya da bir yerde yanlış yapıyorum.

---

Yaptiginiz hata $x=3$ u yerine koymak. $f'(x)=0$ yapip koklerini bulmaniz gerek. $$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ sonra da buldugunuz koku $3$'e esitlemelisiniz. Buradan a ve b ye bagli baska bir esitlik gelmeli. Bu esitligi bulduktan sonra 2 bilinmeyenli 2 denkleminiz olacak. Oradan a ve b yi cekebilirsiniz. Yada birbiri cinsinden yazarak bolmede yerine koymayi deneyebilirsiniz.

Answer 1

Bu soru (Mehmet Toktaş ın yazdığı değil, orijinalinde) hatalı olmuş.

Sanırım yazıya geçirilirken (bir veya daha fazla) hata olmuş.

Sizin de bulduğunuz gibi, kalanın 2 olması nedeniyle

$y=2x+a+4+\frac2{x-2}$ oluyor. 

1. Geometrik cevap:

Bu, asimptotları $x=2$ (düşey) ve $y=2x+a+4$ (eğik) doğruları olan bir hiperbol denklemidir.

$x>2$ için ($x-2>0$ olup)  $y>2x+a+4$ olduğu için eğik olan asimptotunun yukarısında kalıp (asimptota yaklaşması için artmak zorundadır) bir maksimuma erişemez,  bir yerde ($x=3$ de oluyor)  bir yerel minimuma erişir, bir $x<2$ sayısında yerel maksimuma erişir. (Daha kısaltılabilir: eğik asimptot artan olduğu için $x>2$ aralığında maksimuma erişemez)

2. Analiz ile cevap:

$y'=2-\frac2{(x-2)^2}=2\frac{(x-2)^2-1}{(x-2)^2}$ olup kökleri (kritik sayılar) $x=1$ ve $x=3$ olur.

$2<x<3$ için $y'<0$ ve $x>3$ için $y'>0$ (ve fonksiyon 3 de sürekli) olduğundan,

Birinci Türev Testinden, bu fonksiyon 3 de bir yerel mimimuma erişir (haizdir!)

Dolayısıyla, ($2a+b+6=0$ olduğu) her durumda, bu fonksiyonun $x=3$ de maksimuma  sahip olamaz,  minimuma sahiptir.

Sorunun kastedilen şekli şunlardan biri olabilir:

.....$x=3$ için $1$ minimum değerine haiz olsun...."

veya

.....$x=1$ için $3$ maksimuma haiz olsun...." 

veya 

...$y=3$ maksimuma haiz olsun...." 

 

Comments

@dplat, sorunun ifadesini dikkatlice okursanız, "fonksiyon x=3 için bir maksimuma haiz olsun" denir.  Eğer "fonksiyonun maksimum değeri 3 tür" denilseydi sizin dediğiniz gibi yol almak gerekir di.

Doğan Hocam sorunun metni aynen böyle. İki-üç defa da yazım yanlışlığı var mı diye kontrol ettim. Soru aynen yazılı olduğu gibi. Belki de böyle kurulmuş.  

Hiperbollerin eğik asimptota sahip olduklarını biliyoruz ama düşey asimptotları da var mı? Burada $a,b$ keyfi değer verebiliyorsak, bu değerler için eğri çizilseydi nasıl bir eğri olurdu?

---

Mehmet Toktaş, (cevabıma da ekledim) sorudaki hata sizden kaynaklanmıyor, orijinali (ben de fotoğrafını gördüm, internette pek çok yerde var) hatalı olmuş.

Bu eğrinin bir hiperbol olduğu, denklemi düzenlendiğinde görülüyor (ikinci derece bir eşitlik, bu nedenle bir koni  kesiti, dejenere değil ve asimptotu var olduğu için de bir hiperbol) .

Hiperbollerin daima iki kesişen asimptotu vardır. Bir fonksiyonun grafiği şeklinde olanlarda biri düşey olmak zorundadır, diğeri yatay veya eğik olur.

Değişik a değerleri için Wolframalpha sitesinde çizilen grafikler aşağıda (zaten fonksiyonlar bir sabit kadar farklı, aynı eğri aşağı yukarı hareket ediyor)

EK: Hepsinde $x=3$ için yerel minimum var, sadece $y$ değerleri farklı.