$\dfrac12!=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2} $

Question

$\Gamma(x) =\displaystyle \int_{0}^{\infty} t^{x-1} e^{-t}$

$\Gamma(x)=(x-1)!$

bu formüle bakarak $\dfrac{1}{2}!$ faktoriyel heseplamaya çalışıyorum

 

$\displaystyle\int_{0}^{\infty} t^{\frac{1}{2}}e^{-t}dt$ $= \dfrac{\sqrt\pi}{2}$

bu integral için hangi değişken değiştirmeyi kullanmalıyım.

Comments

$\sqrt{t}=u$ ve sonra parcali integrasyon dene bakalim. Karsina $ \text{Erf}(x)$ cikacak onun da $\dfrac{\sqrt{\pi}}2$ oldugunu gostermen gerek. https://tr.wikipedia.org/wiki/Hata_fonksiyonu

---

teşekkür ederim bu $Erf(x)$ fonksiyonuyla pek karşılaşmadım o yüzden şaşırdım biraz da

---

$\int_{0}^{\infty} t^{\frac{1}{2}}e^{-t}$   ve   $Erf(x)= \frac{2}{\pi}\int_{0}^{x} e^{-t^{2}}$

$\sqrt(t)=u$ değişken değiştirmesi

$\frac{dt}{2 \sqrt t } = du$ yerine yazarsak

$dt=(2\sqrt t )du= 2u du$

$\int_{0}^{\infty}u e^{-u^{2}}2udu= \int_{0}^{\infty}u^{2}e^{-u^{2}}$

burdan sonra kısmı integrasyonu uygulayamadım bu integral için kısmi integrasyon nasıl uygulancak.

---

$\displaystyle\int x^2e^{-x^2}dx\implies x=u, \quad\displaystyle\int xe^{-x^2}dx=\int dv$

---

$\int xe^{-x^{2}}dx=dv$

burdan v yi nasıl çekeceğimizi anlamadım.

---

Typo vardi duzelttim

---

ben değişken mantığını kuramamıştım kısmi integrasyonu uyguladım ama hala $Erf(x)$ fonksiyonuna nasıl geçeceğimi anlayamadım.

$\int_{0}^{\infty}\frac{1}{2}e^{-u^{2}}du$

integraline ulaştım.Aslında buda $ \frac{\sqrt\pi}{4}$' e eşit

---

$\text{Erf} (x)$ fonksiyonu ile iliski kurmak zorunda degilsiniz, demek istedigim integral alirken karsiniza $\displaystyle\int_0^\infty e^{-t^2}dt$ integralin cikacagi ve bu integralin $\text{Erf} (x)$ fonksiyonu ile iliskili olduguydu.

Answer 1

$\Gamma(z)=(z-1)!=\displaystyle\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt\implies \Gamma\left(\frac32\right)=\frac12!=\displaystyle\int_0^\infty t^{\frac12}e^{-t}dt$

$ t^{\frac12}=x\implies \quad2\displaystyle\int_0^\infty x^2e^{-x^2}dx$          (2 carpanini unutmayalin en sonda)

 

$\displaystyle\int_0^\infty x^2e^{-x^2}dx\implies x=u, \quad\displaystyle\int xe^{-x^2}dx=\int dv\implies -\dfrac12 e^{-x^2}=v$

$\displaystyle\int_0^\infty udv=uv\Bigg|_0^\infty-\int_0^\infty vdu\implies$

 

$\displaystyle\int_0^\infty x^2e^{-x^2}dx=-\dfrac x2 e^{-x^2}\Bigg|_0^\infty+\dfrac12 \int_0^\infty e^{-x^2}dx=0+\dfrac12\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$

 

$\displaystyle\Gamma\left(\frac32\right)=\frac12!=\int_0^\infty t^{\frac12}e^{-t}dt=2\dfrac{\sqrt{\pi}}{4}=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$

----------------------------------------------------------

 

Hata fonksiyonun tam degeri, bazi ozel sinirlar disinda, bulunamaz.

$\displaystyle\text{Erf}(x)=\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^xe^{-t^2}dt\implies$

 

$\displaystyle\text{Erf}(\infty)=\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^\infty e^{-t^2}dt=1\implies\int_0^\infty e^{-t^2}dt=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$

 

$\boxed{\displaystyle\int_0^\infty e^{-t^2}dt=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}}$ oldugunu gostermek cok kolay degil ve surada gosterilmis.

Comments

teşekkür ederim  hata fonskiyonunu anladım ve  ben 2 yi umutmuşum

$\displaystyle \int_{0}^{\infty}e^{-t^{2}}dt$

integralini gauss olasılık dağılımını düşünerek kabul ettim.