Basit Eşitsizlikler

Question

16/13 < a/b < 5/4 koşulunu sağlayan a ve b doğal sayılarının toplamı en az kaç olabilir ?

Çözüm: Böyle sorularda payda eşitlemek hatalı sonuç verebilir. (Bu soruda paydaları eşitlediğim zaman 64/52 < a/b < 65/52 çıkıyor. Paydaları eşitlediğim zaman eşitlik hatalı çıkarsa neden a/b < a+c/b+d<c/d eşitsizliğine başvuruyoruz ? )

a/b < a+c/b+d < c/d eşitsizliğini kullanın.

16/13 < 16+5/13+4 < 5/4

olacağından a=21 ve b=17 seçilebilir. Şu halde a+b toplamı en az 38 olabilir.

a/b < a+c/b+d < c/d eşitsizliği nereden geliyor ? Yardımlarınız için şimdiden teşekkür ederim.

Answer 1

$a,b,c,d$ birer pozitif sayı ve ayrıca $b\neq 0, d\neq 0$ olsun. Kabul edelim ki $ \frac ab<\frac cd$ dir.

$\frac ab <\frac cd\Rightarrow ad<bc$ dir. her iki tarafa   $ab$    ekliyelim. O zaman $ ab+ad<ab+bc\Rightarrow a(b+d)<b(a+c)\Rightarrow \frac ab<\frac{a+c}{b+d}$ olur.  Benzer olarak,

$\frac ab< \frac cd \Rightarrow ad< bc$ de her iki tarafa bu sefer de    $cd$     ekliyelim.

$cd+ad< cd+bc\Rightarrow d(c+a)<c(d+b)\Rightarrow \frac{a+c}{b+d}<\frac cd$ olur.  Sonuç olarak

$ \frac ab<\frac{a+c}{b+d} <\frac cd$  olacaktır.

Comments

Hocam çok teşekkür ederim. Elinize sağlık. Hocam müsait olduğunuzda bundan önce bir soru atmıştım ona da bakar mısınız ? Tekrar teşekkür ederim hocam.