Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
117 kez görüntülendi
n tam kare olmayan bir tamsayı ise $ \sqrt{n} $ irrasyonel sayıdır.
Lisans Matematik kategorisinde (252 puan) tarafından  | 117 kez görüntülendi

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Problemdeki etiketlere bakarak, soyut cebir yöntemleriyle bir çözüm kurgulandığını düşündürüyor. Ben elemanter sayılar teorisi yöntemleri ile çözüm vereceğim. Önce bir lemma ispatlayalım:

 

Lemma: $n$ bir pozitif tam sayı ve $\sqrt{n}$ bir rasyonel sayı olsun. Bu durumda $\sqrt{n}$ bir tam sayıdır. Diğer bir deyişle $n$ bir tam karedir.

 

İspat: $a,b$ pozitif tam sayılar ve $(a,b)=1$ olmak üzere $\sqrt{n}=\dfrac{a}{b}$ biçiminde yazılmış olsun. Kare alırsak $n=\dfrac{a^2}{b^2}$ olur. Fakat $(a^2, b^2)=1$ olduğundan $n=\dfrac{a^2}{b^2}$ kesri indirgenemez (daha fazla sadeleşemez) biçimdedir. Öte yandan $n$ bir tam sayı olduğundan $b=1$ olmalıdır. Böylece $n=a^2$ biçiminde tam kare bir tam sayıdır.

 

Şimdi ana probleme bakalım. $n$ tam kare olmayan bir pozitif tam sayı ise $m^2 < n <(m+1)^2$ olacak biçimde bir $m$ pozitif tam sayısı vardır. Karekök alırsak, $m<\sqrt{n}<m+1$ olur. Ardışık iki tam sayının arasında başka bir tam sayı olamayacağından $\sqrt{n}$ bir tam sayı değildir. $\sqrt{n}$ sayısı rasyonel sayı da olamaz. Çünkü $\sqrt{n}$ rasyonel sayı olsaydı ispatladığımız Lemma'ya göre $\sqrt{n}$ bir tam sayı oluyordu ve bir çelişki elde ederdik. Sonuç olarak $\sqrt{n}$ sayısı irrasyoneldir.

(1.3k puan) tarafından 
0 beğenilme 0 beğenilmeme
Kabul edelim ki  $\sqrt{n}=a/b$ olsun. Burada $a$ ve $b$ aralarında asal sayılar  olacak . Bu durumda $a^2=nb^2$ yazabiliriz yani $(a^2)Z\subseteq (b^2)Z$.  $n$ bir tam kare olmadığından $1\notin (b^2)Z $ ve böylece $(b^2)Z$ , $Z$ nin $has (proper)$ idealidir.Bu nedenle , $(b^2)Z$ , $Z$ nin maksimal ideali tarafından kapsanır . Buradan $Z$ nin her maksimal ideali  ; $r$ bir asal sayı olmak üzere  $(r)Z$ biçimindedir , şimdi öyle bir $p$ asalı sayısı vardır ki  $(a^2)Z\subseteq(b^2)Z\subseteq(p)Z$ içindeliklerini yazabiliriz , buradan $p$ asal sayısı $a$ ve $b$ nin her ikisini de tam böler , en başta kabul ettiğimiz $a$ ve $b$ tamsayılarının aralarında asal olması ile çelişir.
(252 puan) tarafından 
19,393 soru
21,149 cevap
70,809 yorum
25,201 kullanıcı