Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
70 kez görüntülendi
$x^2+y^2+z^2=1$ küresinin $z=0$ düzleminin altında kalan kısmının normali dışa doğru yönlendirilmiş olsun.$F(x,y,z)=x^2yi+y^2zj+z^2xk$ vektör alanı olmak üzere  $\int_{S} rotFndS$ integralini hesaplayınız.

çözüm:  

$rotF=(0-y^2)i-(z^2-0)j+(0-x^2)k$ yani $rotF=-y^2i-z^2j-x^2k$ olur.Ayrıca S yüzeyi altyarı olduğundan $z=-\sqrt{1-x^2-y^2}$ olur.Bu durumda $z_{x}=\frac{x}{\sqrt{1-x^2-y^2}}$ ve $z_{y}=\frac{y}{\sqrt{1-x^2-y^2}}$ olur.Buradan

$\iint_{S} rotFndS= \iint_{B} [(-y^2)$ .$\frac{x}{\sqrt{1-x^2-y^2}}-(-z^2)\frac{y}{\sqrt{1-x^2-y^2}}+(-x^2)]dA$

$\iint_{B} [ \frac{-xy^2}{\sqrt{1-x^2-y^2}}+\frac{y(1-x^2-y^2)}{\sqrt{1-x^2-y^2}}-x^2]dA$

burada $x=rcos\theta$ ve $y=rsin\theta$ dönüşümü yapılırsa

$\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} [\frac{-r^3cos\theta sin^2\theta +rsin\theta-r^3cos^2\theta sin\theta-r^3sin^3\theta}{\sqrt{1-r^2}}-r^2cos^2\theta]rdrd\theta$

elde edilir.Buraya kadar herhangi bir hatam olduğunu düşünmüyorum ama olabilirde peki bundan sonra nasıl ilerleyeceğim?
Lisans Matematik kategorisinde (13 puan) tarafından  | 70 kez görüntülendi
Stokes un Teroemi ile, bu integrale eşit oan başka bir integrali bulmayı deneyebilirsiniz.
evet onu buldum şu şekilde,

$x=cost,\;y=sint,\;z=0$ dönüşümü yardımıyla $C...r(t)=costi+sintj+0k$, $0\leq t \leq 2\pi$ için

$$ \iint\limits_{S}rotFndS=\int\limits_{C}Fdr=\int\limits_{0}^{2\pi} (x^2y,y^2z,z^2x).(-sint,cost,0)dt $$

integralini aldığımda sonucu 0 buldum ama doğruluğunu sağlamak adına birinci integral olan

$ \iint\limits_{S}rotFndS$ integralini de çözmem lazım.
$Rot\,F\cdot n$ kısmında hata var sanıyorum.

Oradaki $-(-z^2)\frac{y}{\cdots}$?  baştaki $-$ niye?

$\mathbf{n}$ yi tam olarak yazabilir misin?
soruda yüzeyin normalinin dışa yönlendirilmiş olsun tanımlamasına istinaden

$n=(-z_{x},-z_{y},1)$ olduğundan

$n=(-\frac{x}{\sqrt{1-x^2-y^2}},-\frac{y}{\sqrt{1-x^2-y^2}},1)$ olarak hesapladım.Sanırım bir yazım hatası yapmışım tekrar güncelleyecek olursam

$\iint\limits_{S}rotFndS=\iint\limits_{B}[-(-y^2).\frac{x}{\sqrt{1-x^2-y^2}}-(-z^2).\frac{y}{\sqrt{1-x^2-y^2}}+(-x^2)]dA$

son hali budur.

$n=(-\frac{x}{\sqrt{1-x^2-y^2}},-\frac{y}{\sqrt{1-x^2-y^2}},1)$ doğru mu?

normali dışa doğru yönlendirilmiş" ifadesinin hiç göz önüne almamışsın.

hocam sanırım eksik noktalarım var öncelikle bunları düzeltmeliyim yardımlarınız için teşekkür ederim
18,858 soru
20,947 cevap
68,974 yorum
21,722 kullanıcı