Bağımsızlık ve ilintisizlik ve koşullu beklenti

Question

$X$ ve $Y$ iki rastgele değişken olsun. Diyelim ki, her $y$ için $E(X|Y=y)=E(X)$. Şimdi buradan, $X$ ve $Y$'nin bağımsız olduğu çıkmaz. İlintisiz (uncorrelated) olduğu, yani ${\rm Cov}(X,Y)=0$ olduğu çıkar mı? Bir yerde okuduğuma göre çıkmazmış, ama karşıörnek bulamadım. Bulabilen var mı?

Comments

Mümkünse mühendise anlatır gibi bir karşıörnek bulalım ama. Ölçüm kuramı falan karıştırmayalım:)

Answer 1

Yanıtı buldum. Ama kanıtını vermeyeceğim şu koşullu beklenti teoremini kullanmak gerek: $E[E(X|Y)]=E(X)$. Herhangi bir olasılık kitabında kanıtı vardır.

Şimdi bu teoremden $E(XY)=E[E(XY|Y)]=E[Y\,E(X|Y)]$.

Ama soruda her $y$ için $E(X|Y=y)=E(X)$ denmiş. Bu $E(X|Y)=E(X)$ anlamına gelir.

Yani, $E[Y\,E(X|Y)]=E[Y\, E(X)]$.

Ama $E(X)$ sabit olduğundan, $E(XY)=E(X)E(Y)$ çıkar. Yani $X$ ile $Y$ ilintisiz (uncorrelated) olur.