Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
67.4k kez görüntülendi

$x^3+4x^2-26x-21=0$ denkleminin köklerini bulunuz

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (47 puan) tarafından 
tarafından yeniden etikenlendirildi | 67.4k kez görüntülendi

2 Cevaplar

4 beğenilme 0 beğenilmeme

Aslında çözüm fikri oldukça oldukça güzeldir ve bizim bugünki notasyon ile kolay anlaşılırdır. 

(Denklemde 2. derece terim  yoksa) 

$(a+b)^3-3ab(a+b)=(a^3+b^3)$ özdeşliği aşikardır. Bu da şu anlama geliyor:

 $p=3ab$ ve $q=a^3+b^3$ olduğunda, $x=a+b$, $x^3-px=q$  denklemini sağlar. 

Öyleyse $3ab=p,\ a^3+b^3=q$ olacak şeklide $a$ ve $b$ sayıları bulduğumuzda kübik denklemin bir çözümünü bulmuş oluruz. ($a^3b^3=\frac{p^3}{27}$ olduğu için). $a^3$ ve $b^3$ sayılarını bulmak 2. derece bir denklemi çözmeye dönüşür ve bu, çok eskiden beri bilinmektedir. Daha sonra $x=a+b$ den denklemin bir çözümü bulunacaktır. O zamanlar negatif sayılara izin verilmediği için denklemi (her katsayı pozitif olacak şekilde) farklı şekilde yazıp, aynı fikri, biraz farklı şekillerde uygulamak gerekiyordu.

Fakat bu yöntem de bazan çok sorunlu olabiliyor. Bazı denklemlerin aşikar tamsayı çözümlerini bulmak için karmaşık sayılarla uğraşmak gerekiyor. Örneğin $x^3-15x=4$ denklemini aşikar $x=4$ çözümünü bulmak için $\sqrt{-121}$ i hesaplamak gerekir. Cardan ın Ars Magna kitabında bundan kısaca söz edilir.

$x^2$ terimi varsa denklemin nasıl çözüleceğini (büyük bir olasılıkla) Tartaglia (kekeme)  adıyla anılan, Brescia lı Niccolo bulmuştur (Tartaglia kübik denklemin çözümünü anlatan bir şiir yazmıştır). $x^3+ax^2+bx+c=0$ denkleminde, $y=x+\frac a3$ alındığında yeni denklemde 2. derece terim ($y^2$) var olmayacaktır ve denklem yukarıdaki gibi çözülür.

(6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Hatırladığım kadarıyla Euler'inde üçüncü dereceden denklemlerin çözümüne ilişkin bir metodu var. 

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Üçüncü dereceden bir polinom denklemin köklerini ararken öncelikle sabit terimin çarpanlarına bakarız. Şansımız varsa sabit terimin çarpanlarından biri köktür. Değilse (bu soruda olduğu gibi) o zaman işimiz biraz zor. Bunun için Cardano formüllerini kullanabilirsiniz. https://proofwiki.org/wiki/Cardano's_Formula

(11.4k puan) tarafından 
Teşekkürler baya zorlayici:)
20,237 soru
21,758 cevap
73,397 yorum
2,048,015 kullanıcı