Tam değer fonksiyon

Question

$\sum_{k=1}^{1000} [|\sqrt{x}|]$ toplamı kaçtır

Comments

Tam değer için $\LaTeX$ de özel bir sembol var, \lfloor ($\lfloor$) ve \rfloor ($\rfloor$) çok kullanışlı, büyüklüğü de ayarlanabiliyor.

Örneğin bu soru, bu sembolü kullanırsak: 

$$\sum_{k=1}^{1000}\lfloor \sqrt{k}\rfloor$$ şeklinde görünür. (Şimdi farkettim, soruda $x$ yazılan yerde, $k$ olmalı herhalde)

Başka bir sembol ile karışma olasılığı da yok.

Answer 1

Ali Bey ,sorduğunuz sorularda çözümlerde ne kadar ilerleyebildiğinizi de paylaşırsanız herkes için daha faydalı olacaktır diye düşünüyorum. Birilerinin tam bir çözüm sunması bizleri pek geliştirmez  sanırım.

Comments

Cevabını bildiklerimin cevabını vermiyormki illaki bir çözen olur diye , bir çözüm gelmezse  birsyler bulursam paylaşırım

Answer 2

Söz konusu toplamı $S$ ile gösterelim.

$$S=(1+1+1)+(2+2+2+2+2)+(3+3+3+3+3+3+3)+\ldots+ \underset{61\text{ tane}}{\underbrace{(30+30+\ldots+30)}}+\underset{40\text{ tane}}{\underbrace{(31+31+\ldots+31)}}$$

$$\Rightarrow$$

$$S=1.3+2.5+3.7+4.9+\ldots+30.63+31.40$$

$$\Rightarrow$$

$$S=\ldots$$

bulunur.

Answer 3

$1\leq x\leq3$ için $[|\sqrt x|]=1$,

$4\leq x\leq8$ için $[|\sqrt x|]=2$,

$9\leq x\leq15$ için $[|\sqrt x|]=3$,

$16\leq x\leq24$ için $[|\sqrt x|]=4$,

$25\leq x\leq35$ için $[|\sqrt x|]=5$,

$\dots$

$900\leq x\leq960$ için $[|\sqrt x|]=30$, ve

$961\leq x\leq1000$ için $[|\sqrt x|]=31$ (burada 40 tane 31 vardır)

olduğundan ve yukarıdaki  her bir tamsayının sayısının da $2.[|\sqrt x|]+1$ kadar olmasından dolayı  istenen toplam:

$$\sum_{x=1}^{30}\left(2. x+1\right).x+40.31=$$  

$$2\sum_{x=1}^{30}x^2+\sum_{x=1}^{30}x+1240=$$

$$2.\frac{30.31.61}{6}+\frac{30.31}{2}+1240=$$

Bu işlemin sonuda galiba $20.615$ çıkıyor. İşlemlerde hata olabilir.